题目描述：
一个有 n 个元素的数组，这 n 个元素既可以是正数也可以是负数，数组中连续的一个或多个元素可以组成一个连续的子数组，一个数组可能有多个这种连续的子数组，求子数组的最大值。例如，对于数组 [1，-2，4，8，-4，7，-1，-5] 而言，其最大和的子数组为 [4,8,-4,7]，最大值为 15。
方法：
- 蛮力法
- 重复利用已经计算的子数组和
- 动态规划
- 优化的动态规划
1.蛮力法
找出所有的子数组，然后求出子数组的和，在所有子数组的和中取最大值。
代码实现：
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time : 2020/1/29 21:59
# @Author : buu
# @Software: PyCharm
# @Blog ：https://blog.csdn.net/weixin_44321080
def maxSubArrSum(arr):
if arr == None or len(arr) <= 0:
print('参数不合理！')
return
thisSum = 0
maxSum = 0
i = 0
while i < len(arr):
j = i
while j < len(arr):# j 控制连续子数组包含的元素个数
thisSum = 0
k = i # k 表示连续子数组开始的下标
while k < j:
thisSum += arr[k]
k += 1
if thisSum > maxSum:
maxSum = thisSum
j += 1
i += 1
return maxSum
if __name__ == '__main__':
arr = [1, -2, 4, 8, -4, 7, -1, -5]
print('1 max sub array sum:', maxSubArrSum(arr))
结果：
算法性能分析：
这种方法的时间复杂度为O(n3)；
2.重复利用已经计算的子数组和
由于 sum[i，j] = sum[i，j-1] + arr[j]，在计算 sum[i，j] 的时候可以使用前面已计算出的 sum[i，j-1] 而不需要重新计算，采用这种方法可以省去计算 sum[i，j-1] 的时间，从而提高效率。
代码实现：
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time : 2020/1/30 10:53
# @Author : buu
# @Software: PyCharm
# @Blog ：https://blog.csdn.net/weixin_44321080
def maxSubArrSum(arr):
if arr == None or len(arr) <= 0:
print('参数不合理！')
return
maxSum = -2 ** 31
i = 0
while i < len(arr): # i: 0~7
sums = 0
j = i
while j < len(arr): # j: 0~7
sums += arr[j] # sums 重复利用
if sums > maxSum: # 每加一次就判断一次
maxSum = sums
j += 1
i += 1
return maxSum
if __name__ == '__main__':
arr = [1, -2, 4, 8, -4, 7, -1, -5]
print('2 max sub array sum:', maxSubArrSum(arr))
结果：
算法性能分析：
使用了双重循环，时间复杂度为O(n2)；
3.动态规划
首先可以根据数组最后一个元素 arr[n-1] 与最大子数组的关系分为以下三种情况讨论：
(包含或不包含，包含的话肯定以最后一个元素结尾；不包含的话，或者最后一个元素单独构成最大子数组，或者转换为求 arr[1…n-2] 的最大子数组)
(1) 最大子数组包含 arr[n-1]，即最大子数组以 arr[n-1] 结尾；
(2) arr[n-1] 单独构成最大子数组；
(3) 最大子数组不包含 arr[n-1]，那么求 arr[1…n-1] 的最大子数组可以转换为求 arr[1…n-2] 的最大子数组。
所以有：
代码实现：
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time : 2020/1/30 11:19
# @Author : buu
# @Software: PyCharm
# @Blog ：https://blog.csdn.net/weixin_44321080
def maxSubArrSum(arr):
if arr == None or len(arr) <= 0:
print('参数不合理！')
return
n = len(arr)
End = [None] * n # End[i] 表示包含 arr[i] 的最大子数组和
All = [None] * n # All[i] 表示最大子数组和
End[n - 1] = arr[n - 1]
All[n - 1] = arr[n - 1]
End[0] = All[0] = arr[0]
i = 1
while i < n:
End[i] = max(End[i - 1] + arr[i], arr[i]) # i=1时若arr[0]<0,则从arr[1]重新开始
All[i] = max(End[i], All[i - 1])
i += 1
return All[n - 1]
if __name__ == '__main__':
arr = [1, -2, 4, 8, -4, 7, -1, -5]
print('3 max sub array sum:', maxSubArrSum(arr))
结果：
算法性能分析：
时间复杂度为O(n)；
由于额外申请了两个数组，所以空间复杂度为O(n)；
4.优化的动态规划
方法3中每次其实只用到了 End[i-1] 与 All[i-1] ，而不是整个数组中的值，所以可以定义两个变量来保存 End[i-1] 与 All[i-1] 的值，并且可以反复利用。
代码实现：
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time : 2020/1/30 11:55
# @Author : buu
# @Software: PyCharm
# @Blog ：https://blog.csdn.net/weixin_44321080
def maxSubArrSum(arr):
if arr == None or len(arr) <= 0:
print('参数不合理！')
return
nAll = arr[0] # 最大子数组和
nEnd = arr[0] # 包含最后一个元素的最大子数组和
i = 1
while i < len(arr):
nEnd = max(nEnd + arr[i], arr[i])
nAll = max(nEnd, nAll)
i += 1
return nAll
if __name__ == '__main__':
arr = [1, -2, 4, 8, -4, 7, -1, -5]
print('4 max sub array sum:', maxSubArrSum(arr))
结果：
算法性能分析：
时间复杂度为O(n)；
空间复杂度为O(1)；
引申：
在知道了子数组的最大值后，如何确定最大子数组的和？
思路：
代码实现：
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time : 2020/1/30 12:01
# @Author : buu
# @Software: PyCharm
# @Blog ：https://blog.csdn.net/weixin_44321080
class Test:
def __init__(self):
self.begin = 0 # 记录最大子数组起始位置
self.end = 0 # 记录最大子数组结束位置
def maxSubArrSum(self, arr):
n = len(arr)
maxSum = -2 ** 31 # 子数组最大值
nSum = 0 # 包含子数组最后一位的最大值
nStart = 0
i = 0
while i < n:
if nSum < 0:
nSum = arr[i]
nStart = i
else:
nSum += arr[i]
if nSum > maxSum:
maxSum = nSum
self.begin = nStart
self.end = i
i += 1
return maxSum
def getBegin(self):
return self.begin
def getEnd(self):
return self.end
if __name__ == '__main__':
arr = [1, -2, 4, 8, -4, 7, -1, -5]
t = Test()
print('连续最大和为:', t.maxSubArrSum(arr))
print('begin at ', t.getBegin())
print('end at ', t.getEnd())
结果：
以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持易盾网络。