小波变换与傅里叶变换的区别

引用：https://www.zhihu.com/question/19725983

1. 应用范围

• 高维数据因为其计算代价昂贵（纬度高计算必然昂贵）和建立索引结构的困难（空间索引结构往往面临着“维度灾”），因此有对其进行数据压缩的需求，即对高维数据进行降维，傅里叶变换和小波变换都可以用来做这件事

2. 傅里叶变换

• 傅里叶变换，可以理解为将一个函数映射到（L2空间的）某组基上。观察这组基(严格来说不是一组基)cosx,sinx,cos2x,sin2x...发现有个特点是它可以由一个母函数cosx通过平移和缩放获得。

• 用不同频率的三角函数去拟合原始信号。

  
    图4可以用三角函数拟合直线！！！
• 而原始信号中的主要信息都集中在低频分量上，高频分量往往是噪音，因此我们可以对变换后的三角函数系数只保留其前k个系数，而忽略剩余的高频部分，这样就将数据降为了k维，由于高频大多是噪音，因此丢失信息并不多。（实现数据降维）
• 假设傅里叶变换f(x)=a1cos(x)+b1sin(x)+a2cos(2x)+b2sin(2x)+...+akcos(kx)+bksin(kx)已经能满足精度要求了（再往后的高频都是噪声了），可以发现每个映射的分量都是在几乎全定义域有非零值。

3. 小波变换 

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-所谓“小波函数”是一族函数，需要满足1.均值为0；2.在时域和频域都局部化（不是蔓延整个坐标轴的），满足这两条的函数就是小波函数，有很多，最简单的是Haar Wavelet。所以小波分析或者说小波变换要做的就是将原始信号表示为一组小波基的线性组合，然后通过忽略其中不重要的部分达到数据压缩或者说降维的目的。

 

  - 利用小波变换，第一行原始的地震波信号可以被近似地分解为30个小波的叠加。其中，每一个小波都是母函数平移和伸缩得到的  

参考文献

1. https://www.zhihu.com/question/19725983