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贝叶斯决策

贝叶斯分类

贝叶斯公式：\[p(w|x)=\frac{p(x|w)p(w)}{p(x)}\]
其中：p(w)：为先验概率，表示每种类别分布的概率；\(p(x|w)\)为类条件概率，表示在某种类别前提下，某事发生的概率；\(p(w|x)\)为后验概率，表示某事发生了，并且它属于某一类别的概率，有了这个后验概率，我们就可以对样本进行分类。后验概率越大，说明某事物属于这个类别的可能性越大，我们越有理由把它归到这个类别下。

在实际问题中，我们能获得的数据可能只有有限数目的样本数据，而先验概率\(p(w_i)\)和类条件概率(各类的总体分布)\(p(x|w_i)\)都是未知的。根据仅有的样本数据进行分类时，一种可行的办法是我们需要先对先验概率和类条件概率进行估计，然后再套用贝叶斯分类器。
先验概率的估计较简单，1、每个样本所属的自然状态都是已知的（有监督学习）；2、依靠经验；3、用训练样本中各类出现的频率估计。
类条件概率的估计（非常难），原因包括：概率密度函数包含了一个随机变量的全部信息；样本数据可能不多；特征向量x的维度可能很大等等。总之要直接估计类条件概率的密度函数很难。解决的办法就是，把估计完全未知的概率密度\(p(x|w_i)\)转化为估计参数。这里就将概率密度估计问题转化为参数估计问题，极大似然估计就是一种参数估计方法。
由于参数估计问题只是实际问题求解过程中的一种简化方法（由于直接估计类条件概率密度函数很困难）。所以能够使用极大似然估计方法的样本必须需要满足一些前提假设。
重要前提：训练样本的分布能代表样本的真实分布。每个样本集中的样本都是所谓独立同分布的随机变量，且有充分的训练样本。

极大似然估计

最大似然估计的目的就是：利用已知的样本结果，反推最有可能（最大概率）导致这样结果的参数值。
原理：极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概率论在统计学中的应用。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计。
由于样本集中的样本都是独立同分布，可以只考虑一类样本集\(D\)，来估计参数向量\(\theta\)。记已知的样本集为：\(D={x_1,x_2,\cdots , x_N}\)
似然函数：联合概率密度函数\(p(D|\theta)\)称为相对于\({x_1,x_2,\cdots , x_N}\)的\(\theta\)的似然函数:\(l(\theta)=p(D|\theta)=p(x_1,x_2,\cdots,x_N|\theta)=\displaystyle \prod^N_{i=1}p(x_i|\theta)\)
如果\(\hat{\theta}\)是参数空间中能使似然函数\(l(\theta)\)最大的\(\theta\)值，则\(\hat{\theta}\)就是θ的极大似然估计量。它是样本集的函数，记作：\(\hat{\theta}=d(x_1,x_2,\cdots,x_N)=d(D)\)

求解极大似然函数

ML估计：求使得出现该组样本的概率最大的θ值。\[\hat{\theta}=arg \underset{\theta}max l(\theta)=arg \underset{\theta}max \displaystyle \prod^N_{i=1}p(x_i|\theta)\]
定义对数似然函数：\(H(\theta)=ln l(\theta)\)
替换为：\[\hat{\theta}=arg \underset{\theta}max \ H(\theta)=arg \underset{\theta}max \ ln \ l(\theta)=arg \underset{\theta}max \displaystyle \prod^N_{i=1}ln \ p(x_i|\theta)\]
可以看出：1. 未知参数只有一个（θ为标量）。在似然函数满足连续、可微的正则条件下，极大似然估计量是下面微分方程的解：\(\frac{dl(\theta)}{d\theta}=0\)或者等价于\(\frac{dH(\theta)}{d\theta}=\frac{d \ lnl(\theta)}{d\theta}=0\)
2.未知参数有多个（θ为向量）,则θ可表示为具有S个分量的未知向量：\(\theta=[\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_S]^T\)
记梯度算子：\(\nabla_\theta=[\frac{\partial}{\partial \theta_1},\frac{\partial}{\partial \theta_2},\cdots,\frac{\partial}{\partial \theta_S}]^T\)
若似然函数满足连续可导的条件，则最大似然估计量就是如下方程的解:\(\nabla_\theta \ H(\theta)=\nabla_\theta \ lnl(\theta)=\sum_{i=1}^N\nabla_\theta \ lnP(x_i|\theta)=0\)
P.S.方程的解只是一个估计值，只有在样本数趋于无限多的时候，它才会接近于真实值。