小A的烦恼 背包DP

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/40854

题意：有n（n<=1000）个纸牌，每个纸牌分为上下两格，且每格可有1-10个点，所有上格加起来的和为P1，所有下格加起来的和为P2,求想得到|P1-P2|的最小值，需要翻转多少次

给出的题解是：

正常的做法是用 DP，可以用二维的 DP 数组，在这里用了一维数组进行 DP。 dp[i] 表示上下相差 时的最小操作次数。 因为是上下相差所以可能出现负数，将整个数组右移 位， 理论上是上下相差的最大值 在实际程序中 dp[i+N] 是上面 dp[i] 所表示的意义

每次翻转会使上下差值改变，这个改变值记录为 a[j]，改变值应该是初始值的两倍。 状态转移方程就是 dp[i-a[j]]=min(dp[i-a[j]]，dp[i]+1) 同时又考虑到差值有负数的情况，所以根据初始差值情况分类讨论一下，不同情况DP的方向 不同。
最后在 dp 数组中从 N 向两侧寻找能达到的最小值输出即可。

二维的代码也很好懂

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005][20005];
int a[1005];
const static int INF=0x7fffff;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int tx=0,ty=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        register int x,y;
        scanf("%d %d",&x,&y);
        tx+=x;
        ty+=y;
        a[i]=(y-x)*2;
    }
    int t=tx-ty;
    int N=1000;
    for(int i=0;i<=1000;i++)
    for(int j=0;j<=20000;j++)
    dp[i][j]=INF;
    dp[0][t+N]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=20000;j++)
        {
            if(j-a[i]>=0)
            {
                if(dp[i-1][j-a[i]]!=INF)
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-a[i]]+1);
                else
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }
        }
    }
    int ans;
    for(int i=0;i<=1000;i++)
    {
        //cout<<dp[n][N-i]<<" "<<dp[n][N+i]<<" ";
        if(dp[n][N-i]!=INF||dp[n][N+i]!=INF)
        {
            ans=min(dp[n][N-i],dp[n][N+i]);
            break;
        }
    }
    cout<<ans;
}

但在转换成一维的时候遇到不少问题，花了很多时间，第一个点在于一维的时候为了考虑a[i]的正负，还需要分情况讨论

第二个点在于分情况讨论后其状态转移方程还是得一致

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=1<<30;
const int maxn=1e3+7;
int a[maxn];
int dp[20010];//上下差为i（此时数组内数为10000+i）时的最小操作次数 
int main(){
    int n;scanf("%d",&n);
    int x,y,tx=0,ty=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        tx+=x,ty+=y;
        a[i]=(y-x)*2;//每次翻牌，一增一减，故乘2 
    }
    int t=tx-ty;
    for(int i=0;i<=20000;i++)dp[i]=inf;
    dp[1000+t]=0;//初始状态 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]<=0){
            for(int j=0;j<=20000+a[i];j++){
                if(dp[j-a[i]]!=inf)dp[j]=min(dp[j],dp[j-a[i]]+1); 
            }
        }
        else for(int j=20000;j>=a[i];j--){
            if(dp[j-a[i]]!=inf)dp[j]=min(dp[j],dp[j-a[i]]+1);
        }
    }
    int ans;
    for(int i=0;i<=1000;i++){
        //cout<<dp[10000+i]<<" "<<dp[10000-i]<<endl;
        if(dp[1000+i]!=inf||dp[1000-i]!=inf){
            ans=min(dp[1000+i],dp[1000-i]);
            break;
        }
    } 
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
 }