性能 – 是否有内置的matlab计算二次形式(x’* A * x)？

非常简单的问题：给定N×N对称矩阵A和N向量x,是否有内置的Matlab函数来计算x’* A * x？即,代替y = x’* A * x,是否存在函数二次型s.t. y =二次型(A,x)？

显然我可以做y = x’* A * x,但我需要表现,似乎应该有办法利用

> A是对称的
>左右乘数是相同的向量

如果没有单一的内置函数,是否有比x’* A * x更快的方法？或者,Matlab解析器是否足够智能以优化x’* A * x？如果是这样,你能指点我在文件中的一个地方验证这个事实吗？

我找不到这样的内置函数,我知道为什么.

y = x’* A * x可以写成n ^ 2项A(i,j)* x(i)* x(j)之和,其中i和j从1到n(其中A是a) nxn矩阵). A是对称的：对于所有i和j,A(i,j)= A(j,i).由于对称性,每个项在总和中出现两次,除了那些i等于j的项.所以我们有n *(n 1)/ 2个不同的术语.每个都有两个浮点乘法,所以一个朴素的方法总共需要n *(n 1)次乘法.很容易看出,x’* A * x的朴素计算,即计算z = A * x,然后计算y = x’* z,也需要n *(n 1)次乘法.然而,有一种更快的方法来求和我们的n *(n 1)/ 2个不同的项：对于每个i,我们可以分解x(i),这意味着只有n *(n-1)/ 2 3 * n乘法就足够了.但这并没有真正帮助：y = x’* A * x的计算运行时间仍为O(n ^ 2).

因此,我认为二次形式的计算不能比O(n ^ 2)更快地完成,并且因为这也可以通过公式y = x’* A * x来实现,所以没有特殊的优势. “二次型”功能.

===更新===

我在C中写了函数“quadraticform”,作为Matlab扩展：

// y = quadraticform(A, x)
#include "mex.h" 

/* Input Arguments */
#define A_in prhs[0]
#define x_in prhs[1]

/* Output Arguments */
#define y_out plhs[0] 

void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[], int nrhs, const mxArray *prhs[])
{
  mwSize mA, nA, n, mx, nx;
  double *A, *x;
  double z, y;
  int i, j, k;

  if (nrhs != 2) { 
      mexErrMsgTxt("Two input arguments required."); 
  } else if (nlhs > 1) {
      mexErrMsgTxt("Too many output arguments."); 
  }

  mA = mxGetM(A_in);
  nA = mxGetN(A_in);
  if (mA != nA)
    mexErrMsgTxt("The first input argument must be a quadratic matrix.");
  n = mA;

  mx = mxGetM(x_in);
  nx = mxGetN(x_in);
  if (mx != n || nx != 1)
    mexErrMsgTxt("The second input argument must be a column vector of proper size.");

  A = mxGetPr(A_in);
  x = mxGetPr(x_in);
  y = 0.0;
  k = 0;
  for (i = 0; i < n; ++i)
  {
    z = 0.0;
    for (j = 0; j < i; ++j)
      z += A[k + j] * x[j];
    z *= x[i];
    y += A[k + i] * x[i] * x[i] + z + z;
    k += n;
  }

  y_out = mxCreateDoubleScalar(y);
}

我将此代码保存为“quadraticform.c”,并使用Matlab编译：

mex -O quadraticform.c

我写了一个简单的性能测试来比较这个函数和x’Ax：

clear all; close all; clc;

sizes = int32(logspace(2, 3, 25));
nsizes = length(sizes);
etimes = zeros(nsizes, 2); % Matlab vs. C
nrepeats = 100;
h = waitbar(0, 'Please wait...');
for i = 1 : nrepeats
  for j = 1 : nsizes
    n = sizes(j);
    A = randn(n); 
    A = (A + A') / 2;
    x = randn(n, 1);
    if randn > 0
      start = tic;
      y1 = x' * A * x;
      etimes(j, 1) = etimes(j, 1) + toc(start);
      start = tic;
      y2 = quadraticform(A, x);
      etimes(j, 2) = etimes(j, 2) + toc(start);      
    else
      start = tic;
      y2 = quadraticform(A, x);
      etimes(j, 2) = etimes(j, 2) + toc(start);      
      start = tic;
      y1 = x' * A * x;
      etimes(j, 1) = etimes(j, 1) + toc(start);
    end;
    if abs((y1 - y2) / y2) > 1e-10
      error('"x'' * A * x" is not equal to "quadraticform(A, x)"');
    end;
    waitbar(((i - 1) * nsizes + j) / (nrepeats * nsizes), h);
  end;
end;
close(h);
clear A x y;
etimes = etimes / nrepeats;

n = double(sizes);
n2 = n .^ 2.0;
i = nsizes - 2 : nsizes;
n2_1 = mean(etimes(i, 1)) * n2 / mean(n2(i));
n2_2 = mean(etimes(i, 2)) * n2 / mean(n2(i));

figure;
loglog(n, etimes(:, 1), 'r.-', 'LineSmoothing', 'on');
hold on;
loglog(n, etimes(:, 2), 'g.-', 'LineSmoothing', 'on');
loglog(n, n2_1, 'k-', 'LineSmoothing', 'on');
loglog(n, n2_2, 'k-', 'LineSmoothing', 'on');
axis([n(1) n(end) 1e-4 1e-2]);
xlabel('Matrix size, n');
ylabel('Running time (a.u.)');
legend('x'' * A * x', 'quadraticform(A, x)', 'O(n^2)', 'Location', 'NorthWest');

W = 16 / 2.54; H = 12 / 2.54; dpi = 100;
set(gcf, 'PaperPosition', [0, 0, W, H]);
set(gcf, 'PaperSize', [W, H]);
print(gcf, sprintf('-r%d',dpi), '-dpng', 'quadraticformtest.png');

结果非常有趣. x’* A * x和二次型(A,x)的运行时间收敛到O(n ^ 2),但前者的因子较小：