Python光学仿真数值分析求解波动方程绘制波包变化图

波动方程数值解

波动方程是三大物理方程之一，也就是弦振动方程，其特点是时间与空间均为二阶偏导数。其自由空间解便是我们熟知的三角函数形式，也可以写成自然虚指数形式。

一般来说，既然有了精确的解析解，那也就没必要再去做不精确的数值模拟，但数值模拟的好处有两个，一是避免无穷小，从而在思维上更加直观；二是颇具启发性，对于一些解析无解的情况也有一定的处理能力。

对此，我们首先考虑一维波动方程

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def set_y0(x,k,L):
    y = np.zeros_like(x)
    y[x<L] = np.sin(k*x[x<L])*np.sin(np.abs(x[x<L]*np.pi/L))
    return y

if __name__ == "__main__":
    x = np.linspace(0,10,1000)
    k = np.pi*2/1.064
    L = 5
    y = set_y0(x,k,L)

    plt.plot(x,y)
    plt.show()

其形状为

现考虑让这个光波在 [ 0 , L ] 范围内往返传播，在此采用Dirichlet边界条件，取

至此，我们得到了光场的所有信息，原则上可以预测这个波包的所有行为，其迭代过程为

def wave1d(x,t,k,L):
    dx = x[1]-x[0]
    dt = t[1]-t[0]
    d2 = (dt/dx)**2
    y = np.zeros([len(t),len(x)])
    y[0,:] = set_y0(x,k,L)
    y[1,:] = set_y0(x-dt,k,L)
    for n in range(2,len(t)):
        y[n] = 2*y[n-1] - y[n-2] - d2*2*y[n-1]
        y[n,1:] += d2*y[n-1,:-1]
        y[n,:-1] += d2*y[n-1,1:]
        #边界条件
        y[n,0] = 0
        y[n,-1] = 0   
    return y

由于 y y y是随时间变化的参量，现有的matplotlib.pyplot已经无法满足我们绘制动态图片的需求，所以引入animation来进行绘制，其代码为

import matplotlib.animation as animation
#输入时间，自变量，因变量，图题标记
def drawGif(t,x,ys,mark="time="):
    tAxis = np.linspace(0,len(t)-1,100).astype(int)
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111,xlim=(0,10),ylim=(-1.5,1.5))
    ax.grid()
    line, = ax.plot([],[],lw=0.2)
    time_text = ax.text(0.1,0.9,'',transform=ax.transAxes)
    def init():
        line.set_data([],[])
        time_text.set_text("")
        return line, time_text   
    def animate(i):
        y = ys[i]
        line.set_data(x,y)
        time_text.set_text(mark+str(t[i]))
        return line, time_text
    # 动态图绘制命令
    # 输入分别为画图窗口，动画函数，动画函数输入变量，延时，初始函数
    ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, tAxis,
        interval=200, init_func=init)
    #通过imagemagick引擎来保存gif
    ani.save('wave.gif',writer='imagemagick')
    plt.show()
if __name__ == "__main__":
    x = np.linspace(0,10,1000)
    t = np.linspace(0,12,2041)
    k = np.pi*2/1.064
    L = 5
    y = wave1d(x,t,k,L)
    drawGif(t,x,y)

得到结果为

这个图虽然很符合我们的预期，但有些物理过程并不清晰，我们不妨把初始波包设置为只有一个波峰的孤波

def set_y0(x,k,L):
    y = np.zeros_like(x)
    y[x<L] = np.sin(np.abs(x[x<L]*np.pi/L))
    return y

其图像为

我们可以清晰地看到，正弦波通过腔壁后，其震动方向发生了变化，此即半波损失。

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