我的 BSGS 和各位犇犇的差不多，但是不需要求逆元
Luogu [ TJOI2007 ] 可爱的质数 原题展现 题目描述给定一个质数 \(p\)，以及一个整数 \(b\)，一个整数 \(n\)，现在要求你计算一个最小的非负整数 \(l\)，满足 \(b^l \equiv n \pmod p\)。
输入格式仅一行，有 \(3\) 个整数，依次代表 \(p, b, n\)。
输出格式仅一行，如果有 \(l\) 满足该要求，输出最小的 \(l\)，否则输出 no solution。
5 2 3
3
- 对于所有的测试点，保证 \(2\le b,n < p<2^{31}\)。
注意到互质，根据欧拉定理，我们易得\(l< p\)，枚举的时间复杂度为\(O(p)\)
其实可以优化到\(O(\sqrt{p})\)，设 \(m=\lceil \sqrt{p}\rceil,r=b\%m\)
于是我们可以将 原式写成
\[b^{km+r}\equiv n(mod\;p)\\ b^{km}\equiv nb^{-r}(mod\;p) \]右边好像要求逆元啊，我们不想求逆元，怎么办呢？
只需将式子改成
\[b^{km-r}\equiv n(mod\;p)\\ b^{km}\equiv nb^{r}(mod\;p) \]解决了问题
我们考虑找到一个 \(k\) 和 一个 \(r\) 使得上述式子成立，这个并不难
首先枚举 \(r\) ，显然有 \(r(1\leq r\leq m)\) 注意这里和广大打法不同
因为广大打法是枚举余数，这里枚举的是相反的
然后把右边式子的值哈希存下，枚举左边的 \(k(1\leq k \leq m)\)
对于左边枚举求出的值看看哈希数组是否存在对应的右边的值，如果有，那么就是一个解
搞出一个最小的解好像也不是很难吧.....
时间复杂度 \(O(m)\) ，也就是 \(O(\sqrt{p})\)
然后注意一下，要打很多特判
上一下码风巨丑的代码
inline ll ksc(ll x, ll y, const ll& p) { return (x * y - (ll)((long double)x / p * y) * p + p) % p; }
vector<pair<ll, int> > v[ 100013];
inline ll BSGS(ll a, ll b, const ll&p) {
if (b == 1) {
if (a == 0)
return -1;
return 1;
}
if (b == 0) {
if (a == 0)
return 1;
return -1;
}
if (a == 0) {
return -1;
}
ll m = ceil(sqrt(p)), cnt = 1, res = 1;
for (int r = 1; r <= m; r++) {
cnt = ksc(cnt, a, p);//这个龟速乘不是龟速乘
v[(ksc(cnt, b, p)) % mod].push_back(make_pair(ksc(cnt, b, p), r));
}
for (int k = 1; k <= m; k++) {
res = ksc(cnt, res, p);
ll id=res%mod;
if (v[id].size())
{
for (int j = v[id].size() - 1; j >= 0; j--)
{
if (v[id][j].first ==res)
{
return m * k - v[id][j].second;
}
}
}
}
return -1;
}
给定 \(a,p,b\)，求满足 \(a^x≡b \pmod p\) 的最小自然数 \(x\) 。
输入格式每个测试文件中包含若干组测试数据，保证 \(\sum \sqrt p\le 5\times 10^6\)。
每组数据中，每行包含 \(3\) 个正整数 \(a,p,b\) 。
当 \(a=p=b=0\) 时，表示测试数据读入完全。
输出格式对于每组数据，输出一行。
如果无解，输出 No Solution，否则输出最小自然数解。
5 58 33
2 4 3
0 0 0
9
No Solution
对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le a,p,b≤10^9\) 或 \(a=p=b=0\)。
扩展 Baby Steps Giant Steps 详解注意到不互质，那我们就要想办法让它互质
\[a^x\equiv b(mod\;p)\\ a^x-kp=b\\ 设 d=gcd(a,p)\\ 若 d|b 不成立，则无解\\ 式子除 d 得 a^{x-1}\frac a d- k\frac p d=\frac b d\\ 改记为a^{x-1}a'- kp'=b'\\ 即 a^{x-1}a'\equiv b'(mod\; p') \]如此反复，直到互质为止，差不多就是
\[a^{x-cnt}a'\equiv b'(mod\; p') \]注意，操作时如果两边值相等了，答案就是 \(cnt\)
然后就是个普通 BSGS ,变了一点点，左边需要乘上 \(a'\)，其他都是一模一样的
求出答案之后答案要加上 \(cnt\) ,因为我们求出的是 \(x-cnt\)
本题时限高达 4s ，就算不写哈希用 map 也能通过
参考如下实现
vector<pair<ll, int> > v[ 1000013];
int vis[1000003];
inline ll exBSGS(ll a,ll b,ll p)
{
memset( vis,0,sizeof(vis));
if(p==0)return -1;
if(p==1)
{
if(b==0)return 0;
return -1;
}
if (b == 1) {
if (a == 0)
return -1;
return 1;
}
if (b == 0) {
if (a == 0)
return 1;
return -1;
}
if (a == 0) {
return -1;
}
ll ak=0,t=1,d=gcd(a,p);
while(d!=1)
{
ak++;
t*=a;
t/=d;
p/=d;
if(b%d!=0)return -1;
b/=d;
if(t%p==b%p)return ak;
d=gcd(a,p);
t%=p;
}
ll m = ceil(sqrt(p)), res=t%p,cnt=1;
for (int r = 1; r <= m; r++) {
cnt = ksc(cnt, a, p);
ll hash=(ksc(cnt, b, p)) % mod;
if(vis[hash]==0)
{
vis[hash]=1;
v[hash].clear();
}
v[hash].push_back(make_pair(ksc(cnt, b, p), r));
}
for (int k = 1; k <= m; k++) {
res = ksc(cnt, res, p);
ll hash=res%mod;
if (vis[hash])
{
for (int j = v[hash].size() - 1; j >= 0; j--)
{
if (v[hash][j].first ==res)
{
return m * k - v[hash][j].second+ak;
}
}
}
}
return -1;
}
如果觉得不错的话，就给一个赞吧！
作者是 某邓_Duck ,转载请注明出处
文章链接： https://www.cnblogs.com/I-am-joker/p/16320382.html
感谢您阅读！