题目

https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4] 输出：5 解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5。 注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

• 1 <= prices.length <= 105
• 0 <= prices[i] <= 104

题解

动态规划一般分为一维、二维、多维（使用状态压缩），对应形式为$dp(i)$、$dp(i)(j)$、二进制$dp(i)(j)$。

1. 动态规划做题步骤

• 明确$dp(i)$应该表示什么（二维情况：$dp(i)(j)$)；
• 根据$dp(i)$ 和 $dp(i-1)$ 的关系得出状态转移方程；
• 确定初始条件，如 $dp(0)$。

2. 本题思路

其实方法一的思路不是凭空想象的，而是由动态规划的思想演变而来。这里介绍一维动态规划思想。

$d_p[i]$ 表示前 $i$天的最大利润，因为我们始终要使利润最大化，则：

$$dp[i]=max(dp[i−1],prices[i]−minprice)$$

代码

// c++ class Solution { public: int maxProfit(vector<int>& prices) { int n = prices.size(); if (n == 0) return 0; // 边界条件 int minprice = prices[0]; vector<int> dp (n, 0); for (int i = 1; i < n; i++){ minprice = min(minprice, prices[i]); dp[i] = max(dp[i - 1], prices[i] - minprice); } return dp[n - 1]; } }; ## python class Solution: def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int: n = len(prices) if n == 0: return 0 # 边界条件 dp = [0] * n minprice = prices[0] for i in range(1, n): minprice = min(minprice, prices[i]) dp[i] = max(dp[i - 1], prices[i] - minprice) return dp[-1]

复杂度分析

• 时间复杂度：$\mathcal{O}(n)$。
• 空间复杂度：$\mathcal{O}(n)$。