python数据分析 - T检验与F检验：二组数据那个更好？（一）

T检验，F检验

• ​​1.导语​​
• ​​2.假设检验​​

• ​​2.1 原假设与备择假设​​
• ​​2.2 接受域与拒绝域​​
• ​​2.3 两类错误​​

• ​​3.单样本的假设检验​​

• ​​3.1 选择零假设和对立假设​​
• ​​3.2 选择显著水平α​​
• ​​3.3 决定检验统计量，由此统计量及α来确定检验的决策规则，并用P值或临界值描述​​
• ​​3.4 从总体取一随机样本，并从样本计算检验统计量的值，若可能，计算P值​​
• ​​3.5 举例​​

1.导语

要在某个指标上对比两个模型的好坏，我们可以直接进行比较，同时为了使比较结果更具说服力，我们可以使用统计检验的方法

使用t检验比较这两组k个样本的均值、使用F检验比较这两组k个样本的方差

即将两个模型分别跑k次，使用t检验比较这两组k个样本的均值、使用F检验比较这两组k个样本的方差，均值越大、方差越小说明在当前指标上该模型更好更稳定

2.假设检验

假设检验的基础是抽样分布，因为利用这些抽样分布的分布特性和统计量，才能推导出估计和假设检验的概率公式

总体均值的估计和假设检验用到均值的抽样分布：

• 如果正态分布，均值的估计和假设检验用到的抽样分布是标准正态分布（Z统计量）
• 如果总体方差未知，均值的估计和假设检验用到的抽样分布是t分布（T统计量）
• 总体方差的估计和假设检验用到卡方分布（卡方统计量）

2.1 原假设与备择假设

原假设和备择假设在不同教材里面有不同的叫法，但是意义都是一样的，它们是假设检验理论的基础，具体介绍请回顾：假设检验原理——原假设和备择假设的建立。

在参数检验中，首先要对某一总体参数建立一个假设，并在随后的抽样推断中以这一假设为前提进行检验。这一假设被称为原假设，用H0表示。
如果检验的结果不能拒绝原假设，就接收这一假设。如果检验的结果拒绝了原假设，就必须接收另一假设——备择假设，用H1表示。

由此可见，原假设与备择假设是一种对立关系。在建立参数假设以后，检验的结果或者是原假设成立，或者是备择假设成立，两者必选其一。

2.1.1 举例

灯泡厂商在给用户提供一批灯泡时声称，
该批灯泡的平均使用寿命1600小时。
为了验证厂商的说法，需要用样本数据进行检验。因此用户首先要作出如下假设

随后用户要选取样本并计算样本的数据。
如果样本数据很接近1600小时，则可接收原假设；
如果样本数据离1600小时很远（远远高于或低于1600小时），就会拒绝原假设，同时就要接收备择假设

一般在假设检验时，我们会将两个假设并列写在检验之前，即：

以上原假设为参数等于某一数值，备择假设为不等于某一数值。类似这种假设的检验，称之为双侧假设检验。有时还经常出现另外一种检验的形式，称之为单侧假设检验。

例如，在灯泡厂商为用户提供一批灯泡时声称，该批灯泡的平均寿命最低是1600小时。
在这种情况下，用户需要通过样本数据来检验>1600是否成立。
这时是否大于1600小时是用户研究的问题。
一般原则是将此设为备择假设，记为

如果检验的结果表明不能拒绝H0，则不能说明灯泡的平均寿命高于1600小时，即厂商的说法不可信。
如果样本检验的结果表明可以拒绝H0，则用户就会接收备择假设>1600的结论，即可以判断厂商的说法是可信的。
类似上述这种原假设为参数等于某一数值，备择假设为大于某一数值的假设，称为右侧假设检验。
与右侧假设检验相反的是左侧假设检验，它的备择建设设为小于某一数值。
例如，有人对用户说：某种灯泡的平均寿命低于1600小时，用户要对该人的说法进行检验。
此时用户研究的是是否会小于1600小时，因此，他要将<1600设为备择假设，即有

如果样本数据能够拒绝H0，则会接受H1：<1600，即该人的说法可信。否则，接受H0，则该人的说法不可信。这个检验就属于左侧假设检验。

2.2 接受域与拒绝域

假设设定以后，需要设定一个判别标准，用以判断样本数据为多少时才可以接受原假设或者拒绝原假设。这个判别标准就是给定一个小概率，根据“小概率事件原理”作出判断（小概率事件会发生），这里小概率用α表示，称为显著性水平(Level Of Significance)。

例如，假设，在假设以后给定一个小概率α＝0.05，这样就可以在假设成立的分布中，确定两个区域：一个是接近＝1600的区域，称之为接受域；另一个是远离＝1600的区域，称之为拒绝域。

由上图可以看出，接受域的概率区间为1－α，拒绝域的区间概率为α，两侧各占α/2

对假设进行判别时，无论是单侧检验还是双侧检验，都适合以下的判别原则：

样本数值落在接受域内，则接受原假设，同时拒绝备择假设

样本数值落在拒绝域内，则拒绝原假设，同时接受备择假设

2.3 两类错误

理想的假设检验是当H0是正确的假设时，能够判别为接受。当H0是不正确的假设时，能够判别为拒绝。但是，在由样本统计量数据判断总体参数时，由于样本数据具有随机性，因此在判别时，就可能有四种结果出现：

H0为真但判别为拒绝，此类错误为“弃真”错误，即将真的当成假的，也称为第一类错误。

H0为真并被接受，这是正确的判别。

H0为假并被拒绝，这是正确的判别。

H0为假并被接受，此类错误称为“取伪”错误，即将假的当成真的，也称为第二类错误。

结论

为真

为假

接受

正确判断

“取伪”错误

拒绝

“弃真”错误

正确判断

由上表可以看到，当检验结果拒绝原假设时，判断可能是正确的，也有可能是“弃真”错误。虽然不能判断犯“弃真”错误的概率有多大，但是由前述知道，拒绝域的概率为α。因此，在假设检验中，犯“弃真”错误的概率的最大值就是给定的显著性水平α。

当检验结果接受原假设H0时，判别可能是正确的，也有可能犯“取伪”错误。通常用β表示犯“取伪”错误的概率，β的概率是由真正的总体参数的分布所决定的。在假设检验中，由于真实总体参数值不可知，因此，β的概率值也不可知。

所以在检验中，如果结论是拒绝H0，接受H1，那么犯错误的概率很小（α）。但是如果结论是接受H0，拒绝H1，则犯错误的概率（β）是不可知。从这一点来看，所谓接受H0，实质是不能拒绝H0，即在没有足够证据证明情况下只能接受。

虽然β在检验时是未知的，但对于一个固定的总体来说，当给定α以后，β的数值也就随之确定，如下图：

当真实总体均值为μ1时，却假设总体均值为μ0，（μ1>μ0）。如果样本数据落入α区域，则结论是正确的，即拒绝μ0。如果样本数据落入接受域，就会接受原假设μ0，这就犯了“取伪”错误。

在进行假设检验时，一般按以下四个步骤顺序进行：

根据问题建立原假设和备择假设；

选择适当的样本统计量，并确定以H0为真时的抽样分布；

选定显著性水平α，确定临界值；

进行判别，得出结论

假设检验根据样本和使用情景的不同分为：

单样本的假设检验

两样本的假设检验

多样本的假设检验

3.单样本的假设检验

3.1 选择零假设和对立假设

一个零假设和一个对立假设组成一对统计假设（原假设和对立假设的概念描述请回顾：假设检验原理——原假设和备择假设的建立），这样成对的统计假设可以分为两类三种：单侧假设检验和双侧假设检验（两类）；无方向对立假设、左向对立假设和右向对立假设（三种）。

单侧假设检验：只有一个方向上的变化是重要的（某种新型减肥药实际减肥多少）或研究的假设预告了一个具体的变化方向（某种新的治疗肿瘤会减小）时用单侧假设合适。有的需要检验是否变大，有的检验是否变小。

双侧假设检验：对于探索性研究和质量控制，因为任何一个方向的变化都要检查，单检验就不合适了，应该用双侧假设检验，例如控制产品的重量和产品内某种物质的含量。

3.2 选择显著水平α

回忆估计理论，总体均值的区间估计概率公式如下：

其中，1-α称为置信度或置信系数，(1-α)100%称为置信水平。以双尾为例：

在假设检验理论中，α是假设检验的显著水平，这是因为它用以评估样本结果的显著性，如果点估计值与零假设中的假设参数有很大差别，以至于P≤α，则拒绝零假设，该结果称为统计显著；如果P>α，则接受零假设，该结果称为不是统计显著的。如上图所示，临界域即为统计显著域，接受域为非统计显著域。

显著水平α在试验前设定为0.05或0.01。例如当α=0.05时，分析人员会在报告中说明“统计假设检验是在0.05显著水平（或5%显著水平）下进行的”，如果P≤0.05，则拒绝零假设，该结果称为统计显著；如果P>0.05，则接受零假设，该结果称为不是统计显著的。

从上图中可以看出，如果P≤0.05，阴影面积比P≤0.01的大，所以P≤0.05可说成是“显著的结果”，P≤0.01可说成是“高度显著的结果”。P≤0.01比P≤0.05发生第一类错误的概率α小。

3.3 决定检验统计量，由此统计量及α来确定检验的决策规则，并用P值或临界值描述

3.4 从总体取一随机样本，并从样本计算检验统计量的值，若可能，计算P值

根据假设检验的总体参数和已知的信息，选择假设检验的统计量。

对于总体均值的假设检验

可用下表选择：

对于总体方差的假设检验

可以用卡方分布。

3.5 举例

如果某电池生产商最近设立了一个改进计算器电池的项目，要求改进的电池比现有的电池使用时间长，已知现在计算器中，电池寿命的量度是正态分布的，均值为100.3min，标准差为

6.25min。现在开发了一种改进电池，在理论上可能持续更长时间，由初步检验可以假定期寿命量度也是正态分布，标准差为6.25min。选取了一个n=20的改进电池的样本，得到均值为

105.6min，在显著水平α=0.05下，作H0: μ=100.3min的单侧检验，并用P值（z值）叙述决策。

因为电池寿命增加是重要的，理论上有理由是增加的 ，设立右侧统计假设：

时的Z统计量，用P值（或者Z值，表示右尾决策规则）

若 ( )，拒绝

计算P值（临界Z值）

查标准正态分布表，Z=3.363对应的概率为0.4996

因为Z=3.363>1.645，所以拒绝零假设，接受对立假设，同样的，也可以比较P值，因为P=0.0004<=0.05，所以拒绝零假设，接受对立假设。因此可以告知公司在显著水平0.05下可以认为新电池寿命长。