内积：
性质:
1. [x,y] = [y,x] ;
2. [λx,y] = λ[x,y] ;
3. [x+y, z] = [x,z] + [y,z];
4. [x,x ] > 0, 则 x μ(不全为) 0； 若 [x,x] =0, 则 x =0;
柯西-斯瓦兹不等式：
长度：
为向量 x 的长度， 记作 ||x|| ;
性质：
1. ||x|| >0 , x=/= 0; ||x|| =0, x=0;
2. ||λx|| = |λ| *||x|| ;
3. ||x+y|| <= ||x|| + ||y|| ;
4. [x,y] =0 <==> x ⊥y ，称： 向量 x 与 y 正交；
定理：
若向量组 a1,a2,...am 中 不含零向量，且两两正交，则向量组 a1,a2,... am 线性无关；
单位正交基：
若 e1,e2 ... en 两两正交， 且 都是单位向量，则称为 单位正交基底；
施密特正交化过程：
1.正交化：
...........
2.单位化： 每个分量除以 它 的长度；
正交矩阵：
若n阶矩阵 A 满足 A ^t A = E , 则 称 A 为正交矩阵， 且 A ^-1 = A ^t ；
正交变换：
若 P 为正交矩阵， 则线性变换 y = p*x 称为 正交变换； 则 :
特征值：
设A 为n 阶方阵， 若存在数 λ 及 非零向量 x 使得 Ax = λx， 则称 数 λ 为A 的特征值， x 为A 的对应于 λ的特征向量；
注意： 1. 对应于 同一特征值的特征向量不唯一；
2. 一个特征向量不能对应于不同的特征值；
求λ 的方法： (A- λE)x =0, |A-λE| =0；
求对应λ的x 的x 的方法： 求矩阵 (基础解系) (A - λE) x=0 的解；
特征多项式 f(λ):
性质：
1. kλ 是 kA 的特征值； 即 ： kAx = kλx
2. λ^m 是 A^m 的特征值； 即： A^m* x = λ^m *x;
且对应特征向量相同。
4.φ(x) 为x 的多项式， 则φ(λ) 是 φ(A)的特征值；
5. λ^ -1 * |A| 是 A^* 的特征值， 即 A^* x = λ^-1 |A| x;
6. n 阶矩阵A ， |A - λE| 最多有 n 个解；
设： λ1，λ2... λm 是方阵A 的特征值， p1,p2... pm 是 依次之对应的特征向量。 若 λ1，λ2...λm 各不相等，则 p1,p2,...pm 线性无关。 即 方阵A 的不同特征值的特征向量线性无关；
相似矩阵：
设A，B 都是 n阶 矩阵， 若存在 可逆矩阵 P ， St p^-1 A p= B , 则 称 A 相似于 B ；
注： 相似关系 是一种等价关系， 具有反身性， 传递性；
相似矩阵具有相同的 特征多项式， 特征值；
矩阵可对角化的条件:
n阶矩阵A 有 n个线性无关的特征向量 <==> n阶矩阵A 与对角阵相似.(A 可对角化)；
对角化的方法：
求λ;
1. 若 无重根， 则能对角化， p =(x1,x2....)
2. 若 有重根 ， 求特征向量的个数。 若为 n, 则能对角化； 若 <n ,则不能对角化；
由特征值，特征向量求矩阵：
A = P B P^-1 A^100 = P B^100 P ^-1; 可应用于 求矩阵的幂；
实对称矩阵 一定可以对角化； 即可一找到正交矩阵 Q ： St : Q^-1 A Q = Q^t A Q = 对角阵；
实对称矩阵的特征值 为 实数；
实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量正交；
二次型：
含有n个变量 x1,x2 ... xn 的二次齐次多项式：
称为二次型；
其中，只含有平放式的二次型 称为 二次型的 标准型；
二次型化为矩阵：
f = x^t A x , A 为对称矩阵，其中 非主对角线系数为原来的 1/2；
即：
称为 二次型的矩阵；
任给一个 二次型，就唯一确定一个对称矩阵， 任给一个对称矩阵，就唯一确定一个二次型；
二次型的主要问题： 求可逆的 线性变换 x=cy 把 二次型变为标准型；
x = cy;
若 C 可逆， 则称 x =cy 是 非退化线性变换；
若 C 正交， 则 称 x = cy 是 正交变换；
矩阵的合同:
设 A，B 是正交矩阵，若存在可逆矩阵 C 使得: C^t A C = B , 则称矩阵 A 与 B 合同；
性质： 反身性，对称性，传递性；
矩阵的关系有: 等价，相似， 合同；
化二次型为标准型：
f= x^t A x = y^t c^t A c y = y^t p^-1 A p y;
正交相似变换法：
任意二次型 f, 总有 正交变换 x = py, 使之化为标准型：
, 其中， λ1，λ2... λn 是二次型f 的矩阵 A 的全部特征值；
正定二次型:
正惯性指数： 化为标准型后 系数为正的个数；
负惯性指数： 化为标准型后 系数为负的个数；
当 x不全为0， 若 f >0， 则称为 正定二次型；（若正惯性指数 <n, 称为 半正定）；
当 x 不全为0， 若f <0, 则称为 负定二次型；
特征值 全大于0 <==> 正惯性指数 =n <==> 正定二次型；
霍尔维斯定理：
A 正定 <==> A 的各阶 主子式 全为 正；
A 负定 <==> A 的奇数阶 主子式 全为 负，偶数阶 主子式 全为正；
主子式： 主对角线左上角 依次增大的子式；
2019.4.23 补充：
特征值，行列式，伴随矩阵，矩阵的迹的关系：
1.方阵的行列式等于 其所有特征值的乘积；
2. λ^ -1 * |A| 是 A^* 的特征值， 即 A^* x = λ^-1 |A| x;
3.矩阵的迹： 主对角线（左上至右下的那一条）上所有元素之和。记作tr(A)，其中A为方阵。
如 A,B 相似，则他们具有相同的迹。
4.若n阶方阵A的特征值为a1,a2,a3......an，则tr(A)=a1+a2+......+an。
矩阵相似对角化： 地址
2019.5.5 补充：
相似矩阵的秩为什么相等?
为什么相似矩阵具有相同的行列式?
正等矩阵及其性质：
2019.5.24补充：
矩阵的相似，等价，合同的关系：
矩阵相似 或 合同，则 必等价，反之不成立。
矩阵等价，只需满足 两矩阵可以通过一系列可逆矩阵相乘得到；
矩阵相似，则存在一个可逆矩阵P，使得： AP = PB;
矩阵合同，则存在一个可逆矩阵P，使得： P^TAP = B;
若P是正交矩阵，则既相似，也合同；
矩阵等价：针对矩阵而言，一般与初等变换有关，本质是同型矩阵的秩相等。
矩阵相似：针对方阵而言，秩相等是必要条件，本质是二者有相等的不变因子。
矩阵合同：针对方阵而言，秩相等是必要条件，本质是正惯性指数相等，即标准型相同。