CF834D. The Bakery(线段树优化dp 决策单调性优化dp)

​​linkkkkk​​​ 题意：
将一个长度为 n 的序列分为 m段，使得总价值最大。
一段区间的价值表示为区间内不同数字的个数。
n≤35000,m≤50
思路：
考虑朴素的方程：表示将前个数字分成段得到的最大价值。
转移为
其中表示区间的价值。
这样时间复杂度是的，是无法优化的，看怎么能够优化的计算。
正常的思路是开一个桶暴力维护，但是每个数作用的区间都是可以预处理出来的。假设第个数上一次出现的位置为，那么只有在时，的贡献才是。这样就变成了区间修改，区间求和，用线段树就可以维护。
由于很小，在外层枚举。对于建树，初值为，表示第个数跟前面的段在一起。然后对于每个都更新贡献的范围，同时更新后求出的最大值。时间复杂度为
还有一种决策单调性优化dp的​​解法​​ 代码：

// Problem: D. The Bakery
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #426 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/834/problem/D?mobile=true
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2500 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

typedef pair<int, int>PII;

inline ll read(){ll x = 0, f = 1;char ch = getchar();while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')f = -1;ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}return x * f;}

inline void write(ll x){if (x < 0) x = ~x + 1, putchar('-');if (x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');}



#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)

ll ksm(ll a, ll b,ll mod){ll res = 1;while(b){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return res;}

#define read read()
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;

const int maxn=35050,inf=0x3f3f3f3f;

int n,m,a[maxn];
int dp[maxn][55];
int pre[maxn],pos[maxn];
struct node{
int l,r,laz,maxx;
}tr[maxn*4];

void pushup(int u){
tr[u].maxx=max(tr[u<<1].maxx,tr[u<<1|1].maxx);
}

void pushdown(int u){
if(tr[u].laz){
tr[u<<1].maxx+=tr[u].laz;
tr[u<<1|1].maxx+=tr[u].laz;
tr[u<<1].laz+=tr[u].laz;
tr[u<<1|1].laz+=tr[u].laz;
tr[u].laz=0;
}

}

void build(int u,int l,int r,int p){
tr[u].l=l,tr[u].r=r;
tr[u].laz=0;tr[u].maxx=0;
if(l==r){
tr[u].maxx=dp[l-1][p-1];
return ;
}
int mid=(l+r)/2;
build(u<<1,l,mid,p);build(u<<1|1,mid+1,r,p);
pushup(u);
}

void update(int u,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql<=l&&r<=qr){
tr[u].maxx++;
tr[u].laz++;
return ;
}
pushdown(u);
int mid=(l+r)/2;
if(ql<=mid) update(u<<1,l,mid,ql,qr);
if(qr>mid) update(u<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
pushup(u);
}

int query(int u,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql<=l&&r<=qr){
return tr[u].maxx;
}
pushdown(u);
int mid=(l+r)/2;
int ans=0;
if(ql<=mid) ans=max(ans,query(u<<1,l,mid,ql,qr));
if(qr>mid) ans=max(ans,query(u<<1|1,mid+1,r,ql,qr));
return ans;
}

int main(){
n=read,m=read;
rep(i,1,n){
a[i]=read;
pre[i]=pos[a[i]]+1;
pos[a[i]]=i;
}


for(int j=1;j<=m;j++){
build(1,1,n,j);
for(int i=1;i<=n;i++){
update(1,1,n,pre[i],i);
if(j-1<=i) dp[i][j]=query(1,1,n,j-1,i);
}
}

write(dp[n][m]);
return 0;
}

思路2：

再用莫队维护某段区间的不同数的个数。

代码：

// Problem: D. The Bakery
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #426 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/834/problem/D?mobile=true
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2500 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll, ll>PLL;
typedef pair<int, int>PII;
typedef pair<double, double>PDD;
typedef pair<string,string>PSS;
#define I_int ll
inline ll read(){ll x = 0, f = 1;char ch = getchar();while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')f = -1;ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}return x * f;}

inline void write(ll x){if (x < 0) x = ~x + 1, putchar('-');if (x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');}

#define read read()
#define closeSync ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define multiCase int T;cin>>T;for(int t=1;t<=T;t++)
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define repp(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)

ll ksm(ll a, ll b,ll mod){ll res = 1;while(b){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return res;}

const int maxn=35050,mod=1e9+7;
const double pi = acos(-1);

int dp[maxn][50],a[maxn],n,m;

int cnt[maxn],ans,L=1,R;

void add(int x){
cnt[x]++;
if(cnt[x]==1) ans++;
}

void del(int x){
cnt[x]--;
if(!cnt[x]) ans--;
}

int cul(int l,int r){
while(L<l) del(a[L++]);
while(L>l) add(a[--L]);
while(R<r) add(a[++R]);
while(R>r) del(a[R--]);
return ans;
}

void solve(int l,int r,int ql,int qr,int tot){
if(l>r) return ;
int mid=(l+r)/2,qmid=ql;
for(int i=ql;i<=min(qr,mid);i++){
int now=dp[i-1][tot-1]+cul(i,mid);
if(now>dp[mid][tot]){
dp[mid][tot]=now;qmid=i;
}
}
solve(l,mid-1,ql,qmid,tot);
solve(mid+1,r,qmid,qr,tot);
}

int main(){
n=read,m=read;
rep(i,1,n) a[i]=read;
// memset(dp,0x3f,sizeof dp);
dp[0][0]=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
solve(1,n,1,n,i);
cout<<dp[n][m]<<"\n";
return 0;
}