集训队专题（2）1003 Matrix Power Series

Matrix Power Series

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Problem Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A² + A³ + … + A^k.

 

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10⁹) and m (m < 10⁴). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

 

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

 

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1

 

Sample Output

1 2
2 3

 

Source

PKU

 

此题是快速幂的一个相当经典的变形运用，求A + A^2 + A^3 + ... + A^k的结果。

这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。

比如，当k=6时，有：
    A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)
    应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3，即可得到原问题的答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,k,mod;
struct Matrix
{
int arr[40][40];
};
Matrix unit,init;
Matrix Mul(Matrix a,Matrix b)
{
Matrix c;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
{
c.arr[i][j]=0;
for(int k=0;k<n;k++)
c.arr[i][j]=(c.arr[i][j]+a.arr[i][k]*b.arr[k][j]%mod)%mod;
c.arr[i][j]%=mod;
}
return c;
}
Matrix Pow(Matrix a,Matrix b,int x)
{
while(x)
{
if(x&1)
{
b=Mul(b,a);
}
x>>=1;
a=Mul(a,a);
}
return b;
}
Matrix Add(Matrix a,Matrix b)
{
Matrix c;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
c.arr[i][j]=(a.arr[i][j]+b.arr[i][j])%mod;
return c;
}
Matrix solve(int x)
{
if(x==1)
return init;
Matrix res=solve(x/2),cur;
if(x&1)
{
cur=Pow(init,unit,x/2+1);
res=Add(res,Mul(cur,res));
res=Add(res,cur);
}
else
{
cur=Pow(init,unit,x/2);
res=Add(res,Mul(cur,res));
}
return res;
}
int main()
{
while(~scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod))
{
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
{
scanf("%d",&init.arr[i][j]);
unit.arr[i][j]=(i==j?1:0);
}
Matrix res=solve(k);
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n-1;j++)
printf("%d ",res.arr[i][j]);
printf("%d\n",res.arr[i][n-1]);
}
}
return 0;
}