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信息检索常用的评价指标整理 MAP nDCG ERR F-measure Precision Recall

来源:互联网 收集:自由互联 发布时间:2021-06-16
相关文献: learning to rank : https://en.wikipedia.org/wiki/Learning_to_rank#cite_note-13 MRR: https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_reciprocal_rank Precision and Recall: https://en.wikipedia.org/wiki/Precision_and_recall chales‘b

相关文献:

learning to rank : https://en.wikipedia.org/wiki/Learning_to_rank#cite_note-13
MRR: https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_reciprocal_rank
Precision and Recall: https://en.wikipedia.org/wiki/Precision_and_recall
chales‘blog : http://charleshm.github.io/2016/03/Model-Performance/

一 查准率与查全率

Precision(P)

是指检索得到的文档中相关文档所占的比例,公式如下:




如果我们只考虑召回的所有结果的top n文档的 查准率, 叫做 P@n

Recall: (R)

查全率是指所有相关文档中被召回到的比例,公式如下:




如果我们只考虑召回的所有结果的top n文档的 查准率, 叫做 R@n

即使仅仅观察查全率为100% 也没多大意义, 虽然相关的文档 被全部召回了, 但是往往代价是伴随着更多的不相关文档被召回,导致查准率下降, 所以应该同时考虑两个指标,尽可能的都要高。

F-measure

一种同时考虑准确率和召回率的指标。公式如下:

F = 2 × p r e c i s i o n × r e c a l l ( p r e c i s i o n + r e c a l l )
可以看出F的取值范围从0到1。另外还有一种F的变体如下所示:
F β = ( 1 + β 2 ) × ( p r e c i s i o n × r e c a l l ) ( β 2 × p r e c i s i o n + r e c a l l )
常用的两种设置是 F 2 F 0.5 ,前者中recall重要程度是precision的两倍,后者则相反,precision重要程度是recall的两倍。

Mean average precision(MAP)

准确率和召回率都只能衡量检索性能的一个方面,最理想的情况肯定是准确率和召回率都比较高。当我们想提高召回率的时候,肯定会影响准确率,所以可以把准确率看做是召回率的函数,即: P = f ( R ) ,也就是随着召回率从0到1,准确率的变化情况。那么就可以对函数 P = f ( R ) 在R上进行积分,可以求P的期望均值。公式如下:



微分:



其中k是召回文档中的某doc rank位置, n是所有召回文档数, P ( k ) 为cut-off k in the list准确率, Δ r ( k ) k 1 k 的召回率变化量

等价于下面的公式:



r e l ( k ) 值为0或1,如果doc k是相关文档, r e l ( k ) 为1,否则为0,

AvePAveP的计算方式可以简单的认为是:

A v e P = 1 R × r = 1 R r p o s i t i o n ( r )

其中 R 表示相关文档的总个数, p o s i t i o n ( r ) 表示,结果列表从前往后看,第rr个相关文档在列表中的位置。比如,有三个相关文档,位置分别为1、3、6,那么 A v e P = 1 3 × ( 1 1 + 2 3 + 3 6 ) 。在编程的时候需要注意,位置和第i个相关文档,都是从1开始的,不是从0开始的。
A v e P 意义是在召回率从0到1逐步提高的同时,对每个R位置上的P进行相加,也即要保证准确率比较高,才能使最后的 A v e P 比较大。

最后~,MAP计算所有Query的平均准确率分数:

M A P = q = 1 Q A v e P ( q ) Q
Q为query数目总量。

Mean reciprocal rank(MRR)

M R R = 1 | Q | i = 1 | Q | 1 r a n k i
where r a n k i refers to the rank position of the first relevant document for the i-th query.

第一个正确答案的排名的倒数。MRR是指多个查询语句的排名倒数的均值

Expected reciprocal rank (ERR)

一种考虑是,一个文档是否被用户点击和排在它前面的文档有很大的关系,比如排在前面的文档都是不相关文档,那么它被点击的概率就高,如果排它前面的文档都是非常相关的文档,那么它被点击的概率就很低。Cascade Models假设用户从排名由高到底依次查看文档,一旦文档满足了用户的需求,则停止查看后续的文档。用RiRi表示用户只看在位置ii上的文档后就不在需要查看其它文档的概率,显然文档的相关度越高, R i 越大。那么用户在位置i停止的概率公式如下:

P P r = i = 1 r 1 ( 1 R i ) R r

ERR表示用户的需求被满足时停止的位置的倒数的期望。首先是计算用户在位置rr停止的概率 P P r ,如下所示:

P P r = i = 1 r 1 ( 1 R i ) R r
其中 R i 是关于文档相关度等级的函数,可以选取如下的函数:
R i = R ( g i ) = 2 g 1 2 g m a x , g { 0 , 1 , , g m a x }

那么ERR的计算公式如下:

E R R = r = 1 n φ ( r ) P P r = r = 1 n 1 r P P r = r = 1 n 1 r i = 1 r 1 ( 1 R i ) R r
更通用一点,ERR不一定计算用户需求满足时停止的位置的倒数的期望,可以是其它基于位置的函数 φ ( r ) ,只要满足 φ ( 0 ) = 1 ,且 φ ( r ) 0 随着 r 。比如DCG中的 φ ( r ) = 1 l o g 2 ( r + 1 )
ERR论文: https://web.archive.org/web/20120224053008/http://research.yahoo.com/files/err.pdf

Discounted cumulative gain (DCG)

在MAP计算公式中,文档只有相关不相关两种,而在nDCG中,文档的相关度可以分多个等级进行打分。

Cumulative Gain (CG)

计算DCG之前先进行计算CG, 公式如下:

C G p = i = 1 p r e l i r e l i 是位置i处的相关性,上述公式计算了前p个结果的相关性总和
注意到召回结果的doc间任意排序,对CG函数值是无影响的,比如: 召回的三个文档rank依次是doc1,doc2,doc3,相关性依次是 3,2,0,而如果
rank顺序为doc3,doc2,doc1,其CG值依然为5. 而前者排序是最合理的,但CG值相同。

Discounted Cumulative Gain(DCG)

所以要引入对位置信息的度量计算,既要考虑文档的相关度等级,也要考虑它所在的位置信息。假设每个位置按照从小到大的排序,
它们的价值依次递减,意味着,相关度越高的如果排序越靠后,那么分数就应该受到惩罚,
可以假设第i个位置的价值是 1 l o g 2 ( i + 1 ) ,那么排在第i个位置的文档所产生的效益就是 r e l i × 1 l o g 2 ( i + 1 ) = r e l i l o g 2 ( i + 1 ) ,公式如下:

D C G p = i = 1 p r e l i l o g 2 ( i + 1 ) = r e l 1 + i = 2 p r e l i l o g 2 ( i + 1 ) 另一种比较常用的,用来增加相关度影响比重的DCG计算方式是:
D C G p = i = 1 p 2 r e l i 1 l o g 2 ( i + 1 )

Normalized DCG (NDCG)

由于每个查询语句所能检索到的结果文档集合长度不一,p值的不同会对DCG的计算有较大的影响。所以不能对不同查询语句的DCG
进行求平均,需要进行归一化处理。nDCG就是用IDCG进行归一化处理,表示当前DCG比IDCG还差多大的距离。公式如下:

n D C G p = D C G p I D C G p
IDCG为理想情况下最大的DCG值
I D C G p = i = 1 | R E L | 2 r e l i 1 l o g 2 ( i + 1 )

其中 | R E L | 表示,文档按照相关性从大到小的顺序排序,取前p个文档组成的集合。也就是按照最优的方式对文档进行排序。

如何计算

假如一个query召回的文档前6个为
D = { d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 , d 6 }
相关性分值依次为
3 , 2 , 3 , 0 , 1 , 2
意味着 d 1 的相关性分值为3, d 2 相关性分值为2,以此类推。
C G 值为:

可以看到只是简单的对召回对前6个文档分数简单的加和,并没有考虑doc所在的位置对排序结果的评分影响。而 D C G 的思想是对 越高相关性的doc越往后排会给予一定的更大惩罚项。
D C G 的计算如下


因为每个query召回文档数目不同,DCG间无法统一比较,所以需要归一化。
先计算IDCG,我们假设实际上此query召回了八个doc,除了上面6个doc,还有 d o c 7 分值为3, d o o c 8 分值为0,理想rank情况下的相关分数顺序为:
3 , 3 , 3 , 2 , 2 , 1 , 0
计算 I D C G @ 6 :
I D C G 6 = 8.740

n I D C G 6 = D C G 6 I D C G 6 = 6.861 8.740 = 0.785

局限性

  • nDCG不能惩罚“坏”文档,比如两个query返回了两列结果,分值分别为 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 10 那么两者的nDCG是一样的。注意把 E x c e l l e n t , F a i r , B a d 映射为分值数字最好为 1 , 0 , 1 ,而不是类似于 2 , 1 , 0
  • nDCG不能惩罚“缺失” 的doc,比如两个query返回了两列结果,分值分别为 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 .前者计算 D C G @ 3 ,后者计算 D C G @ 5 的话,两个doc都可以被认为是好的。解决方法是应该采取固定的topk大小来计算 D C G @ k ,并在doc不足的query召回结果后面补上“最小权重分值”,如 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 两者均计算 n D C G @ 5

分类模型上 Precision 和 Recall的含义

混淆矩阵

True Positive(真正, TP):将正类预测为正类数.
True Negative(真负 , TN):将负类预测为负类数.
False Positive(假正, FP):将负类预测为正类数 →→ 误报 (Type I error).
False Negative(假负 , FN):将正类预测为负类数 →→ 漏报 (Type II error).

精确率(precision)定义为:

(1) P = T P T P + F P
需要注意的是精确率(precision)和准确率(accuracy)是不一样的,
A C C = T P + T N T P + T N + F P + F N

在正负样本不平衡的情况下,准确率这个评价指标有很大的缺陷。比如在互联网广告里面,点击的数量是很少的,一般只有千分之几,如果用acc,即使全部预测成负类(不点击)acc 也有 99% 以上,没有意义。

召回率(recall,sensitivity,true positive rate)定义为:

(2) R = T P T P + F N
此外,还有 F1F1 值,是精确率和召回率的调和均值,
2 F 1 = 1 P + 1 R (3) F 1 = 2 T P 2 T P + F P + F N
精确率和准确率都高的情况下,F1F1 值也会高。

通俗版本

实际上非常简单,精确率是针对我们预测结果而言的,它表示的是预测为正的样本中有多少是对的。那么预测为正就有两种可能了,一种就是把正类预测为正类(TP),另一种就是把负类预测为正类(FP)。
而召回率是针对我们原来的样本而言的,它表示的是样本中的正例有多少被预测正确了。那也有两种可能,一种是把原来的正类预测成正类(TP),另一种就是把原来的正类预测为负类(FN)。

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