埃尔朗分布的随机数

一、功能

产生埃尔朗分布的随机数。

二、方法简介

埃尔朗分布的概率密度函数为
\[ f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{\beta ^{-m}x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\frac{x}{\beta }} & x\geqslant 0,\beta > 0\\ 0 & x< 0 \end{matrix}\right. \]
通常用\(E(m,\beta )\)表示。埃尔朗分布的均值为\(m\beta\)，方差为\(m\beta^2\)。显然，当\(m=1\)时，\(E(m,\beta )\)就是参数为\(beta\)的指数分布的概率密度函数。

若\(y_i(i = 1,2,...,m)\)是独立同分布的参数为\(beta\)的指数随机变量，则\(x=\sum_{i=1}^{m}y_{i}\)服从埃尔朗分布\(E(m,\beta )\)。因此，先用逆变换法产生指数分布的随机变量\(y_i(y_i=-\beta \, ln(u_i),u_i \sim U(0,1))\)，然后产生埃尔朗分布的随机变量\(x\)，即
\[ x=\sum_{i = 1}^{m}y_{i}=\sum_{i = 1}^{m}(-\beta \, ln(u_{i}))=-\beta \, ln\left ( \prod_{i=1}^{m}u_{i} \right ) \]
产生埃尔朗分布随机变量\(x\)的具体算法如下：

1. 产生独立同分布均匀分布的随机数\(u_1,u_2,...,u_m\)，即\(u_i \sim U(0,1)\)；
2. 计算\(x==-\beta \, ln\left ( \prod_{i=1}^{m}u_{i} \right )\)；

三、使用说明

是用C语言实现产生埃尔朗分布随机数的方法如下：

/************************************
    m       ---埃尔朗分布参数m
    beta    ---埃尔朗分布参数beta
    s       ---随机数种子
************************************/
#include "math.h"
#include "uniform.c"

double erlang(double m, double beta, long int *s)
{
    int i;
    double u;
    double x;
    for(u = 1.0, i = 0; i < m; i++)
        u *= uniform(0.0, 1.0, s);
    x = -beta * log(u);
    return(x);
}

uniform.c文件参见均匀分布的随机数