在 \(\triangle ABC\) 中,角 \(A,B,C\) 所对的边分别是 \(a,b,c\) ,若 \(a\) \(=\) \(1\) ,且 \(BC\) 边上的高等于 \(\tan A\) ,则 \(\triangle ABC\) 的周长的取值范围为 \(\underline{\qquad\qquad}\) . 解析: 由题,不妨设
在\(\triangle ABC\)中,角\(A,B,C\)所对的边分别是\(a,b,c\),若\(a\)\(=\)\(1\),且\(BC\)边上的高等于\(\tan A\),则\(\triangle ABC\) 的周长的取值范围为\(\underline{\qquad\qquad}\).
解析: 由题,不妨设\(c\geqslant b\).过\(A\)作\(BC\)直线的垂线,垂足为\(H\),
于是\[ \begin{split} b+c=\dfrac{AH}{\sin C}+\dfrac{AH}{\sin B}=\dfrac{1}{\cos A}\cdot \left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{a}{b}\right)=\dfrac{2(b+c)}{b^2+c^2-1}. \end{split}\]
从而可得\(b^2+c^2=3,c\geqslant b\),另外考虑到\(a,b,c\)三边需满足构成三角形的充要条件,可得关于\(b,c\)的以下约束关系\[ \begin{cases} & c\geqslant b>0,\ & b^2+c^2=3,\ & c-b<a=1,\ & b+c>1,\ \end{cases}\]
于是\(\triangle ABC\)的周长\(a+b+c\)的取值范围为\(\left(1+\sqrt{5},1+\sqrt{6}\right]\).