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UVA12716 GCD XOR

来源:互联网 收集:自由互联 发布时间:2021-06-22
题意翻译 输入数据组数t,接下来t行每行给定一个数字n,如样例所示格式输出满足1=b=a=n且gcd(a,b)==a xor b的(a,b)二元组个数。 translated by @AdzearDisjudge 题目描述 PDF 输入输出格式 输入格式:

题意翻译

输入数据组数t,接下来t行每行给定一个数字n,如样例所示格式输出满足1<=b<=a<=n且gcd(a,b)==a xor b的(a,b)二元组个数。

translated by @AdzearDisjudge

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输入输出样例

输入样例#1: 
2
7
20000000
输出样例#1: 
Case 1: 4
Case 2: 34866117

 

Solution:

  (又来补上博客…)本题应该是一次模拟考试的原题,思路很简单的数学。

  我们假设$a>b$,不难得出结论:1、$a\;xor\; b\geq a-b$  2、$gcd(a,b)\leq a-b$。

  先证明结论1:简单点说吧,异或操作可以看成凭空借位直接相减的减法(这里默认较大的数为被减数),比如说某位的运算为$0\;xor\;1$,并不需要向前一位借$1$而是直接将$0$加上$2$再减$1$得到运算结果为$1$。那么贪心的想到,$a\;xor\;b$的值一定会大于等于$a-b$的值,因为$a-b$运算时若某位不够减是向前一位借$1$而不是凭空借到$1$,或者理解成异或操作在某位不够减时被减数的该位凭空加上$2$,假设一次异或操作各数位上凭空借了的值的和为$c,c\geq 0$,显然就有$a+c-b\geq a-b$成立了。

  再证明结论2:我们由欧几里得算法可知,$gcd(a,b)=gcd(b,a-b)$(该证明过于简单不需赘述),那么显然$a>b$时$gcd(a,b)\leq a-b$成立。

  于是我们可以直接夹逼,设满足条件的$gcd(a,b)=a\;xor\;b=x$,则有$a-b\leq x\leq a-b$,那么显然$x=a-b$。

  所以本题算法就出来了:考虑用前缀和统计方案数,直接$1\rightarrow n$枚举每个最大公约数$x$,然后判断相邻的两个$x$的倍数异或值是否为$x$,成立就前缀+1。

  时间复杂度调和级数+询问T:$O(n\log n+T)$

代码:

 

/*Code by 520 -- 10.30*/
#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(2)
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
const int N=3e7+5;
int s[N],T;

int gi(){
    int a=0;char x=getchar();
    while(x<0||x>9) x=getchar();
    while(x>=0&&x<=9) a=(a<<3)+(a<<1)+(x^48),x=getchar();
    return a;
}

int main(){
    For(g,1,N-1){
        for(RE int a=(g<<1),b=g;a<N;a+=g,b+=g) if((a^b)==g) s[a]++;
        s[g]+=s[g-1];
    }
    T=gi();
    For(i,1,T) printf("Case %d: %d\n",i,s[gi()]);
    return 0;
}
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