Erdos-Renyi随机图以两位著名的匈牙利数学家P.Erdős和A. Rényi的名字命名的，是生成随机无向图最简单和常用的方法，包括以下两种紧密相关的变体：G(n,p): 拥有n个节点，且边(u, v)以独立同分布的概率p产生的无向图；G(n, m): 拥有n个节点，且其中m条边按照均匀分布采样生成的无向图。G(n, p)生成时按某个次序考虑所有可能边中的每一条，然后以概率p独立地往图上添加每条边。
1 随机图生成简介
1.1 \(G_{np}\)和\(G_{nm}\)
以下是我学习《CS224W：Machine Learning With Graphs》[1]中随机图生成部分的笔记，部分补充内容参考了随机算法教材[2]和wiki[3]。随机图生成算法应用非常广泛，在NetworkX网络数据库中也内置的相关算法。我觉得做图机器学习的童鞋很有必要了解下。
Erdos-Renyi随机图[4]以两位著名的匈牙利数学家P.Erdős和A. Rényi的名字命名的，是生成随机无向图最简单和常用的方法，包括以下两种紧密相关的变体：
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\(G_{np}\): 拥有\(n\)个节点，且边\((u, v)\)以独立同分布的概率\(p\)产生的无向图
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\(G_{nm}\): 拥有\(n\)个节点，且其中\(m\)条边按照均匀分布采样生成的无向图。
(八卦：最常被讨论的\(G_{np}\)其实是Gilbert[5]提出的，不过由于P.Erdős和A. Rényi提出的\(G_{nm}\)更早一些，后来就将两种都统称Erdos-Renyi随机图了)
1.2 生成方法- \(G_{np}\)：按某个次序考虑\(\tbinom{n}{2}\)条可能边中的每一条，然后以概率\(p\)独立地往图上添加每条边。
- \(G_{nm}\): 均匀选取\(\tbinom{n}{2}\)条可能边中的一条，并将其添加为图的边，然后再独立且均匀随机地选取剩余\(\tbinom{n}{2}-1\)可能边中的一条，并将其添加到图中，直到\(m\)边为止（可以证明，虽然是无放回采样，但是每次采样是独立的，任意一种\(m\)条边的选择结果是等概率的）。
值得一提的是，在\(G_{np}\)中，一个有\(n\)个顶点的图具有\(m\)条边的概率满足分布：
\[\tbinom{\tbinom{n}{2}}{m} p^m(1-p)^{\tbinom{n}{2}-m} \]该分布式二项分布，边的期望数为\(\tbinom{n}{2}p\)，每个顶点度的期望为\((n-1)p\)。
1.3 两种方法比较-
两者的相同点：节点数量都为\(n\)，且边数量的期望为\(p\tbinom{n}{2}\)；
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两者的区别：\(G_{np}\)的可能边数量在\(\tbinom{n}{2}p\)上下波动，而\(G_{nm}\)则恒定有\(m\)条边。
\(n\)和\(p\)并不能完全决定一个图。我们发现即使给定\(n\)和\(p\)，图也有许多实现形式。如当\(n=10, p=1/6\)时，就可能产生如下的图：
2.2 \(G_{np}\)的图属性
接下来我们考虑给定\(n\)和\(p\)，图\(G_{np}\)所可能拥有的不属性，包括度分布\(p(k)\)、聚类系数\(C\)、连通分量、平均最短路径长度\(\bar{h}\)等。
- 度分布
\(G_{np}\)的度分布是满足二项分布的，我们设\(p(k)\)为任意节点度数的概率分布函数。当节点数\(n\)足够大时，\(p(k)\)可视为对度为\(k\)的节点所占比例的近似。我们有：
\[p(k)=\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-1-k}\quad (k=0, 1,..., n-1) \]其中\(\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right)\)表示从\(n-1\)个节点中选\(k\)个节点，\(p\)为边产生的概率。该分布是二项分布，所以我们有以下均值和方差：
\[\begin{aligned} & \bar{k} =(n-1)p \\ & \sigma^2 = (n-1)p(1-p) \end{aligned} \]二项分布的离散分布图像如下图所示：
当\(n\)足够大时，二项分布可以用正态分布去近似。
- 聚类系数
我们设
\[C_{i}=\frac{e_{i}}{\tbinom{k_i}{2}} \]此处\(e_i\)为节点\(i\)邻居之间的边数，\(k_i\)为节点\(i\)的度，\(\tbinom{k_i}{2}\)为节点\(i\)的邻居间可能存在的边总数。由于\(G_{np}\)中边都按照概率\(p\)独立同分布，我们有
\[\mathrm{E}(e_i)= \tbinom{k_i}{2}p \]其中\(p\)为节点\(i\)的邻居间两两结合的概率，\(\tbinom{k_i}{2}\)为节点\(i\)的邻居间可能存在的边总数。
我们进一步可推知聚类系数：
\[C =\mathrm{E}(C_i)= \frac{\mathrm{E}(e_i)}{\tbinom{k_i}{2}}=p=\frac{\bar{k}}{n-1} \approx \frac{\bar{k}}{n} \]- 连通分量
图\(G_{np}\)的图结构会随着\(p\)变化，如下图所示：
观察可知其中当巨大连通分量（gaint connected component）出现时，\(p = 1/(n-1)\)，此时平均度\(\bar{k} = (n-1)p=1\)。
平均度\(k=1-\varepsilon\)(即小于1)时，所有的连通分量大小为\(\Omega(\log n)\)；
平均度\(k = 1 + \varepsilon\)（即高于1）时，存在一个连通分量大小为\(\Omega(n)\)，其它的大小为\(\Omega(\log n)\)。且每个节点在期望值上至少有一条边。
如下图所示为\(G_{np}\)中，\(n=100000\)，\(\bar{k}=(n-1)p=0.5,..., 3\) 时的模拟实验图像：
根据模拟实验，在\(G_{np}\)中，平均度大于1时，巨大连通分量恰好出现。
- 平均最短路径长度
Erdos-Renyi随机图即使扩展到很大，仍然可以保证节点之间只有几跳(hops)的距离，如下所示为图的平均最短路径长度\(\bar{h}\)随节点数量变化的关系图：
可以看到平均最短路径长度\(\bar{h}\)随着节点数量\(n\)增长并满足\(O(\log n)\)的增长阶。
2.3 真实网络和\(G_{np}\)的对比相似点： 存在大的连通分量，平均最短路径长度
不同点： 聚类系数，度分布
在实际应用中，随机图模型可能有以下问题：
- 度分布可能和真实网络不同，毕竟真实网络不是随机的。
- 真实网络中巨大连通分量的出现可能不具有规律性。
- 可能不存在局部的聚类结构，以致聚类系数太小。
NetworkX中内置了Erdos-Renyi随机图的生成函数，包括\(G_{np}\)和\(G_{nm}\)。就是需要注意\(G_{np}\)的API[6]是
erdos_renyi_graph(n, p, seed=None, directed=False)
该API与nx.binomial_graph 、nx.gnp_random_graph作用是相同的。
而\(G_{nm}\)的API[7]是
nm_random_graph(n, m, seed=seed, directed=False)
故大家在实际使用中要注意区分。
参考-
[1] http://web.stanford.edu/class/cs224w/
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[2]
Mitzenmacher M, Upfal E. Probability and computing: Randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis[M]. Cambridge university press, 2017. -
[3] https://zh.m.wikipedia.org/zh-hans/随机图
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[4]
Erdős P, Rényi A. On the evolution of random graphs[J]. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci, 1960, 5(1): 17-60. -
[5]
Gilbert E N. Random graphs[J]. The Annals of Mathematical Statistics, 1959, 30(4): 1141-1144. -
[6] https://networkx.org/documentation/stable/reference/generated/networkx.generators.random_graphs.erdos_renyi_graph.html
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[7] https://networkx.org/documentation/stable/auto_examples/graph/plot_erdos_renyi.html?highlight=renyi