整数 整除今天开始，系统学习庄金成老师讲授的《公钥密码学数学基础（上）》
需要用到两个数学工具：NTL 和 sage
B%A=0，就是B除A没有余数，B可以被A整除，或者A整除于B，记\(A|B\)，B是A的倍数，A是B的除数（约数、因子）
这里整除的几何意义，举一个现实的例子"A刚好能丈量B"：
性质：
素数一般我们只取正的
假设\(b(b\neq 0,1)\)是一个整数，除了1和自身b之外，没有其他因子，那么b就叫做不可约数（素数、质数）。
性质1和b叫做显然因子；其他因子叫做非显然因子（真因子）
合数就是和素数相反，除了1和自身之外还有其他因子的数
（1）若a为合数，则a的最小真因子为素数
（2）素数有无穷个
定理源于《几何原本》
（3）素数的初等估计：记\(p_n\)是第n个素数，\(\pi (x)\)表示不超过x的素数个数，将全体素数按从小到大排序，有以下性质：
- \[p_n \leqslant 2^{2^{n-1}},n=1,2,... \]
- \[\pi(x)>log_2log_2x,x\geqslant 2 \]
RSA加密算法中的密钥生成，需要生成两个素数：
点击查看代码
sage: 143.is_prime() //检测143是否为素数
False
sage: P=Primes();P //定义P是素数集合，无穷多个素数
Set of all prime numbers: 2, 3, 5, 7, ...
sage: P.cardinality() //返回P集合的大小，为无穷大
+Infinity
sage: P.unrank(0) //返回P集合中的第几个素数
2
sage: P.unrank(1000)
7927
sage: P.next(100) //返回P集合中100的下一个素数
101
sage: prime_pi(100) //不超过100的素数个数
25
- 素数分布比较好的估计素数定理：$\pi(x)=x/lnx,x->\infty $
- 更精细的估计：黎曼假设
- 未解决的素数问题：哥德巴赫猜想，孪生素数猜想等
设a，b是两个给定的整数且\(a\neq 0\)，则一定存在唯一的一对整数q和r，满足：
\[b=qa+r,0\leqslant r\leqslant |a| \]其中r叫做b被a除后的最小非负余数
证明整除时，r=0；令a=7，b=12
12=17+5，5就是最小正剩余；12=27-2，-2就是最小绝对剩余
CRT：
整数分类详细证明见"孙子定理"
通过给定a，可以将r分类
给定正整数\(a\geqslant 2\)，\(j=0,1,2,..,a-1\)，对于给定的j，被a除后余数等于j的全体整数是
\[ak+j,k=0,\pm 1,\pm 2,... \]这些整数组成的集合记\(S_{a,j}\)。就是下面介绍的剩余类
性质
分类\(S_{a,j}\)：\(0\leqslant j\leqslant a-1\)下：
- \(S_{a,j}\)中任何两个不相交，即
- \(S_{a,j}\)中所有集合的并等于\(Z\)，即
例子：在表盘中，12个刻度代表集合的不相交
应用（1）对于任意整数x，\(x^3\)被9除后所得的最小负余数是0，1，8
（2）进制表示
参考：最大公约数&最小公倍数
公因子：
若d|a,d|b，则d是a和b的公因子。
若d是a和b的正公因子，对于任意的公因子d‘，有d'|a,d'|b,d'|d，则d是a和b的最大公因子，即gcd(a,b)=d。
性质：
求最大公因子的方法：
（1）辗转相除法（欧几里得算法）
（2）更相减损术（《九章算术》）
若1=gcd(a,b)，则称a和b是互素的（或者叫既约的）
性质：
性质：
（1）任意两个不同的费马数互素
（2）\(F_m=\prod_{i=0}^{m-1}F_i+2\)
点击查看代码
sage: def Fermat(n): //定义费马数函数
....: return 2^(2^n)+1
....:
sage: for i in range(5): //一次返回前0-4个费马数，且判断是否为素数
....: print(Fermat(i),Fermat(i).is_prime())
....:
3 True
5 True
17 True
257 True
65537 True
sage: print(Fermat(5),Fermat(5).is_prime()) //返回第5个费马数且判断是否为素数
4294967297 False
举例：
以上证明来自"毕达哥拉斯"
公倍数：
若a|d,b|d，则d是a和b的公倍数。
若d是a和b的一个大于0的公倍数，对于a和b的其他任意公倍数d‘，有d|d'。则d是a和b的最小公倍数。记d=[a,b]
性质：
求最小公倍数的方法：
又叫做辗转相除法，用于求最大公因子
算法上述算法，余数取得非负最小剩余的欧几里得算法，也可以采用绝对最小剩余（非负最小的就是非负的还是最小的哪一个；绝对最小就是绝对值最小的那一个）
非负最小剩余：
设a，b是两个整数，其中b>0，则存在两个唯一的整数q及r，使得a=bq+r，0≤r<b成立，我们把式中的q叫做a被b除得的不完全商，r叫做a被b除所得的余数，也叫做非负最小剩余。
绝对最小剩余：
设a，b是两个整数，其中b>0，则存在两个唯一的整数q及r，使得a=bq+r，-b/2≤r<b/时成立，我们把式中的q叫做a被b除得的不完全商，r叫做a被b除所得的余数，也叫做绝对最小剩余。
这也是一种求逆的方法
举例：
方法2，使用扩展欧几里德算法
具体：先写出前两行；第三行=第一行减去第二行的"6倍"；第四行=第二行减去第三行的"一倍"；依次继续。（注意这个倍数是怎么来的）
RSA算法分析：
问题：如何计算d使得 \(ed+d'\psi(N) =1\)？
方法（1）：扩展欧几里德算法
方法（2）：大衍求一术（秦九韶-《数学九章》）
RSA算法的破解：
点击查看代码
sage: gcd(428344,4421412) //求两个数的最大公因子
4
sage: xgcd(324353452314,654634253142) //求两个数的最大公因子，并且返回最大公因子关于两个数的整系数表示
(6, -6798771628, 3368606269)
sage: -6798771628*324353452314+3368606269*654634253142 //验证
6
变元个数多于方程个数，且取整数值的方程（或方程组）成为不定方程（或不定方程组）
不定方程也叫做丢番图方程，研究的基本问题是：
（1）判断何时有解
（2）有解时决定解的个数
（3）求出所有的解
（1）无解
（2）有解
求解：
求解：
先引入素数的一个性质：
算法基本定理保证了素分解的存在性和唯一性。
举例：
给定正整数N，求解素因子（素因子：是素数的因子）；该问题一般情况下是计算困难的。（RSA中）
举例：
sage实验：
点击查看代码
sage: factor(123456789) //分解123456789=3^2 * 3607 * 3803
3^2 * 3607 * 3803
推论：
推论1:
光滑性：
若正整数a的素因子都是不超过b的，则称a是b光滑的。
举例：123456789=3^2 * 3607 * 3803，称123456789是3803光滑的
推论2:
推论3:
推论4:
(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)]
推论5:
推论6:
列出所有小于或等于正整数n的素数
代码：
点击查看代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define N 1000
int main()
{
//定义两个变量i,j,一个数组a[N]
int i, j, a[N];
//将数组初始化为1,a[i] = 1表示i为素数
//初始时默认从2到N-1均为素数
for(i = 2; i < N; i++ )
{
a[i] = 1;
}
//遍历数组找出下标为素数的,并将所有下标为该素数的倍数的值改为0
for(i = 2; i < N; i++)
{
if(a[i])
{
for(j = i; i*j < N; j++)
{
a[i*j] = 0;
}
}
}
//输出2~N范围内的素数
for(i = 2; i < N; i++)
{
if(a[i])
{
printf("%4d", i);
}
}
return 0;
}
主要针对\(n!的素分解\)：不超过n的素因子p都会出现在分解式中，问题是出现了多少次（求解方幂）
整数函数和小数函数\([x]\)表示x的整数部分;\(x-[x]\)表示x的小数部分
性质：
这里的\(\alpha\)表示p在\(n!\)的素分解中出现的次数
表示\(n!=p_1^{\alpha(p_1,n)}.p_2^{\alpha(p_2,n)}....p_n^{\alpha(p_n,n)}\)
例子：
这里求5的次幂，目的是为了求10的幂次，因为，根据公式( \(10^k = 2^k . 5^k\))，2的幂次比5的高(素数越小，则对应的次幂就越大)，因此10的幂次等于5的幂次。
