现代概率论01：可测空间和可测映射(1)

本文主要回顾了集合、集合系等集合论基础内容，重点介绍了由简单的集合系生成复杂的集合系的问题。

目录

• 第一讲 可测空间和可测映射(1)
  • 1.1 集合及其运算
    • 1.1.1 集合及其运算
    • 1.1.2 集合族和集合序列
  • 1.2 集合系
    • 1.2.1 关于有限运算的集合系
    • 1.2.2 关于可列运算的集合系
    • 1.2.3 可测空间
  • 1.3 \(\sigma\) 域的生成

第一讲 可测空间和可测映射(1) 1.1 集合及其运算 1.1.1 集合及其运算

集合的基本概念：

• 任意一个非空集合 \(X\) 称为全空间，\(X\) 的子集 \(A,B,\cdots\) 等称为全空间 \(X\) 的集合。

• 定义集合 \(A\) 的示性函数：

  \[I_A(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 , & x\in A, \\ 0 , & x\not\in A. \end{array}\right. \]

• 集合 \(A^c\equiv\{x:x\not\in A\}\) 称为集合 \(A\) 的余集。

• 如果 \(x\in A \ \Longrightarrow\ x\in B\) ，则称集合 \(A\) 是 \(B\) 的子集，记作 \(A\subset B\) 。

• 如果 \(A\sub B\) 且 \(B\sub A\) ，则称集合 \(A\) 与 \(B\) 相等，记作 \(A=B\) 。

集合的运算：

• 并集：\(A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}\) 。
• 交集：\(A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}\) 。
• 差集：\(A\setminus B=\{x:x\in A\wedge x\not\in B\}\) 。
• 对称差集：\(A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\) 。
• 如果 \(B\sub A\) ，则记 \(A\setminus B=A-B\) ，称为集合 \(A\) 和 \(B\) 的真差。
• 如果 \(A\) 和 \(B\) 满足 \(A\cap B=\varnothing\) ，则称集合 \(A\) 和 \(B\) 不交。

集合的运算律：

• 交换律：

  \[A\cup B=B\cup A ,\quad A\cap B=B\cap A. \]

• 结合律：

  \[\begin{aligned} &A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C , \\ \\ &A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C. \end{aligned} \]

• 分配律：

  \[\begin{aligned} &(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C), \\ \\ &(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C). \end{aligned} \]

• De-Morgan 律：

  \[(A\cup B)^c=A^c\cap B^c ,\quad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c. \]

1.1.2 集合族和集合序列

集合族的运算及运算律：

• 设 \(\{A_t:t\in T\}\) 表示一族集合，其中 \(T\) 为指标集，定义

  \[\begin{aligned} &\bigcup_{t\in T}A_t=\left\{x:\exists t\in T,\text{ s.t. } x\in A_t\right\}, \\ \\ &\bigcap_{t\in T}A_t=\left\{x:\forall t\in T,\ x\in A_t\right\}. \end{aligned} \]

• 如果对 \(\forall s,t\in T\) ，均有 \(A_s\cap A_t=\varnothing\) ，则称 \(\{A_t:t\in T\}\) 是两两不交的。

• 推广的 De-Morgan 律：

  \[\left(\bigcup_{t\in T}A_t\right)^c=\bigcap_{t\in T}A_t^c, \quad \left(\bigcap_{t\in T}A_t\right)^c=\bigcup_{t\in T}A_t^c. \]

集合序列的极限：

• 设 \(\{A_n:n\geq1\}\) 为一个集合序列，如果对 \(\forall n\geq1\) ，有 \(A_n\subset A_{n+1}\) ，则称 \(A_n\) 是单调增的，记为 \(A_n\uparrow\) ，并定义 \(A_n\) 的极限为

  \[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n. \]

• 设 \(\{A_n:n\geq1\}\) 为一个集合序列，如果对 \(\forall n\geq1\) ，有 \(A_n\supset A_{n+1}\) ，则称 \(A_n\) 是单调减的，记为 \(A_n\downarrow\) ，并定义 \(A_n\) 的极限为

  \[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n. \]

• 注意：单调增和单调减的集合序列统称为单调序列，因此单调序列总有极限。

集合序列的上下极限：

• 对于任意给定的一个集合序列 \(\{A_n:n\geq1\}\) ，注意到

  \[\bigcap_{k=n}^\infty A_k \uparrow ,\quad \bigcup_{k=n}^\infty A_k \downarrow. \]

• 定义 \(A_n\) 的下极限为

  \[\liminf_{n\to\infty}A_n\equiv\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_n. \]

• 定义 \(A_n\) 的上极限为

  \[\limsup_{n\to\infty}A_n\equiv\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_n. \]

上下极限的关系：

• 若 \(x\in\displaystyle\limsup_{n\to\infty}A_n\) ，则表明 \(x\) 属于 \(\{A_n:n\geq1\}\) 中的无穷多个集合。

• 若 \(x\in\displaystyle\liminf_{n\to\infty}A_n\) ，则表明 \(x\) 属于 \(\{A_n:n\geq1\}\) 中除去有限个集合外的其余集合。

• 所以总有 \(\displaystyle\liminf_{n\to\infty}A_n\subset \limsup_{n\to\infty}A_n\) 。

• 如果 \(\displaystyle\liminf_{n\to\infty}A_n=\limsup_{n\to\infty}A_n\) ，则称 \(\{A_n:n\geq1\}\) 的极限存在，记为 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n\) 。

1.2 集合系

集合系：以全空间 \(X\) 中的一些集合为元素组成的集合称为 \(X\) 上的集合系，一般用 \(\mathcal{A},\mathcal{B},\cdots\) 表示。

1.2.1 关于有限运算的集合系

(1) \(\pi\) 系：如果 \(X\) 上的非空集合系 \(\mathcal{P}\) 关于交运算封闭，即

\[A,B\in\mathcal{P} \quad \Longrightarrow \quad A\cap B\in\mathcal{P}, \]

则称 \(\mathcal{P}\) 为 \(\pi\) 系。

例1. 对 \(\forall a\in\mathbb{R}\) ，定义 \((-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R}:-\infty<x\leq a\}\) ，设集合系

\[\mathcal{P}_\mathbb{R}\equiv\left\{(-\infty,a]:a\in\mathbb{R}\right\}, \]

则 \(\mathcal{P}_\mathbb{R}\) 关于有限交运算封闭，故 \(\mathcal{P}_\mathbb{R}\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的 \(\pi\) 系。

(2) 半环：若集合系 \(\mathcal{Q}\) 为 \(\pi\) 系，且满足以下条件：对 \(\forall A,B\in\mathcal{Q}\) ，且 \(B\subset A\) ，存在有限个两两不交的 \(\{C_k\in\mathcal{Q},k=1,2,\cdots,n\}\) ，使得

\[A\setminus B=\bigcup_{k=1}^nC_k, \]

则称 \(\mathcal{Q}\) 为半环。

由定义可以看出，半环满足两个条件：关于交运算封闭，真差可以表示为有限个集合的并。

例2. 对 \(\forall a,b\in\mathbb{R}\) ，定义 \((-a,b]=\{x\in\mathbb{R}:a<x\leq b\}\) ，设集合系

\[\mathcal{Q}_\mathbb{R}\equiv\left\{(a,b]:a,b\in\mathbb{R}\right\}, \]

易证 \(\mathcal{Q}_\mathbb{R}\) 关于有限交运算封闭，即 \(\mathcal{Q}_\mathbb{R}\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的 \(\pi\) 系。

对 \(\forall(a,b],(c,d]\in\mathcal{Q}_\mathbb{R}\) 且 \((c,d]\subset(a,b]\) ，注意到

\[(a,b]-(c,d]=(a,c]\cup(b,d], \]

所以真差可以表示为 \(\mathcal{Q}_\mathbb{R}\) 中有限个集合的并。因此 \(\mathcal{Q}_\mathbb{R}\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的半环。

(3) 环：如果非空集合系 \(\mathcal{R}\) 关于并运算和差运算封闭，即

\[A,B\in\mathcal{R} \quad \Longrightarrow \quad A\cup B\in\mathcal{R}, \quad A\setminus B\in\mathcal{R}, \]

则称 \(\mathcal{R}\) 为环。

例3. 设集合系

\[\mathcal{R}_\mathbb{R}\equiv\bigcup_{n=1}^\infty\left\{\bigcup_{k=1}^n(a_k,b_k]:a_k,b_k\in\mathbb{R}\right\}=\left\{\bigcup_{k=1}^n(a_k,b_k]:\exists n \geq1,\ a_k,b_k\in\mathbb{R}\right\}, \]

易证 \(\mathcal{R}_\mathbb{R}\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的环。

(4) 域（代数）：满足下列条件的 \(\pi\) 系 \(\mathcal{A}\) 称为域：

\[X\in\mathcal{A} ; \quad A\in\mathcal{A}\quad \Longrightarrow \quad A^c\in\mathcal{A}. \]

由定义可以看出，域满足三个条件：包含全空间，关于交运算封闭，关于余运算封闭。

易证域关于并运算封闭：

\[A,B\in\mathcal{A} \quad \Longrightarrow\quad A\cup B=(A^c\cap B^c)^c\in\mathcal{A}. \]

域的等价定义：若集合系 \(\mathcal{A}\) 满足以下条件：

\[\begin{aligned} &X\in\mathcal{A}; \\ \\ &A\in\mathcal{A} \quad \Longrightarrow \quad A^c\in\mathcal{A}; \\ \\ &A,B\in\mathcal{A} \quad \Longrightarrow \quad A\cup B\in\mathcal{A}, \end{aligned} \]

则称 \(\mathcal{A}\) 为域。可以证明 \(A,B\in\mathcal{A} \ \ \Longrightarrow \ \ A\cap B\in\mathcal{A}\) 。

命题 1.2.1：半环必是 \(\pi\) 系，环必是半环，域必是环。

(1) 显然

(2) 设 \(\mathcal{R}\) 为环，则 \(\mathcal{R}\) 非空，环关于差运算封闭，故关于真差封闭。只需证 \(\mathcal{R}\) 关于交运算封闭。

由 \(\mathcal{R}\) 为环可知：

\[\begin{aligned} A,B\in\mathcal{R}&\quad \Longrightarrow \quad A\cup B\in\mathcal{R},\quad A\setminus B\in\mathcal{R} ,\quad B\setminus A\in\mathcal{R} \\ \\ &\quad \Longrightarrow \quad A\cap B=\left(A\cup B\right)-\left[(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\right] \in\mathcal{R}. \end{aligned} \]

所以 \(\mathcal{R}\) 为半环。

(3) 设 \(\mathcal{A}\) 为域，则 \(\mathcal{A}\) 非空。由域的等价定义可知

\[\begin{aligned} &A,B\in\mathcal{A} \quad \Longrightarrow \quad A\cup B=(A^c\cap B^c)^c\in\mathcal{A} , \\ \\ &A,B\in\mathcal{A} \quad \Longrightarrow \quad A\setminus B=A\cap B^c\in\mathcal{A} , \end{aligned} \]

所以 \(\mathcal{A}\) 为环。

1.2.2 关于可列运算的集合系

(5) 单调系：若集合系 \(\mathcal{M}\) 中的任何单调序列 \(\{A_n,n\geq1\}\) 均有极限 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n\in\mathcal{M}\) ，则称 \(\mathcal{M}\) 为单调系。

(6) \(\lambda\) 系： 集合系 \(\mathcal{L}\) 称为 \(\lambda\) 系，如果它满足下列条件：

\[\begin{aligned} &X\in\mathcal{L}; \\ \\ &A,B\in\mathcal{L} ,\quad B\subset A \quad \Longrightarrow \quad A-B\in\mathcal{L}; \\ \\ &A_n\in\mathcal{L} ,\quad n\ge1 ,\quad A_n\uparrow \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in \mathcal{L}. \end{aligned} \]

由定义可以证明，\(\lambda\) 系还满足

\[\begin{aligned} &A^c=X-A\in\mathcal{L}; \\ \\ &A_n\in\mathcal{L} ,\quad n\ge1 ,\quad A_n\downarrow \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c\right)^c\in \mathcal{L}. \end{aligned} \]

(7) \(\sigma\) 域（\(\sigma\) 代数）：集合系 \(\mathcal{F}\) 称为 \(\sigma\) 域，如果它满足下列条件：

\[\begin{aligned} &X\in\mathcal{F}; \\ \\ &A\in\mathcal{F} \quad \Longrightarrow \quad A^c\in\mathcal{F}; \\ \\ &A_n\in\mathcal{F},\quad n\geq1 \quad \Longrightarrow \quad \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in \mathcal{F}. \end{aligned} \]

注意：全空间 \(X\) 上最小的 \(\sigma\) 域为 \(\{\varnothing,X\}\) ，最大的 \(\sigma\) 域为 \(\mathcal{T}\equiv\{A:A\subset X\}\) 。

由定义可以证明，\(\sigma\) 域关于可列并、有限并、可列交、有限交均封闭，因此 \(\sigma\) 域必是域。

命题 1.2.2：\(\lambda\) 系必是单调系，\(\sigma\) 域必是 \(\lambda\) 系。

(1) 设 \(\mathcal{L}\) 为 \(\lambda\) 系，则 \(\mathcal{L}\) 关于单调增序列的极限封闭。只需证 \(\mathcal{L}\) 关于单调减序列的极限封闭。

设 \(A_n\in\mathcal{L},n\geq1\) 且 \(A_n\downarrow\) ，则有 \(A_n^c\in\mathcal{L},n\geq1\) 且 \(A_n^c\uparrow\) ，所以

\[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c\right)^c\in \mathcal{L}. \]

所以 \(\mathcal{L}\) 是单调系。

(2) 设 \(\mathcal{F}\) 为 \(\sigma\) 域，则显然满足 \(X\in\mathcal{F}\) ，下面证明 \(\mathcal{F}\) 关于真差和单调增序列的极限封闭：

\[\begin{aligned} &A,B\in\mathcal{F} ,\quad B\subset A \quad \Longrightarrow \quad A-B=A\cap B^c\in\mathcal{F}; \\ \\ &A_n\in\mathcal{F},\quad n\geq1 ,\quad A_n\uparrow \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in \mathcal{F}. \end{aligned} \]

所以 \(\mathcal{F}\) 是 \(\lambda\) 系。

1.2.3 可测空间

总结以上定义的七个集合系之间由宽松到严紧的顺序如下所示：

• \(\sigma\) 域 \(\subset\) 域 \(\subset\) 环 \(\subset\) 半环 \(\subset\) \(\pi\) 系；
• \(\sigma\) 域 \(\subset\) \(\lambda\) 系 \(\subset\) 单调系。

可测空间：非空集合 \(X\) 和它上的 \(\sigma\) 域 \(\mathcal{F}\) 写成的 \((X,\mathcal{F})\) 称为可测空间，\(\mathcal{F}\) 中的元素称为可测集。

下面我们讨论什么时候的其他集合系可以成为 \(\sigma\) 域，有如下两个命题。

命题 1.2.3：一个既是单调系又是域的集合系必是 \(\sigma\) 域。

设 \(\mathcal{F}\) 既是单调系又是域。由于 \(\mathcal{F}\) 是域，所以

\[\begin{aligned} &X\in\mathcal{F}; \\ \\ &A\in\mathcal{F} \quad \Longrightarrow \quad A^c\in\mathcal{F}, \end{aligned} \]

且 \(\mathcal{F}\) 关于有限并是封闭的。又由于 \(\mathcal{F}\) 是单调系，故 \(\mathcal{F}\) 关于单调升序列的极限也是封闭的，所以

\[\begin{aligned} A_n\in\mathcal{F} ,\quad n\geq1 &\quad\Longrightarrow\quad \bigcup_{k=1}^nA_k\in\mathcal{F} ,\quad n\geq1 \\ \\ &\quad\Longrightarrow\quad \bigcup_{n=1}^\infty A_n= \bigcup_{n=1}^\infty\bigcup_{k=1}^nA_k=\lim_{n\to\infty}\bigcup_{k=1}^nA_k \in\mathcal{F}. \end{aligned} \]

所以 \(\mathcal{F}\) 是 \(\sigma\) 域。

命题 1.2.4：一个既是 \(\lambda\) 系又是 \(\pi\) 系的集合系必是 \(\sigma\) 域。

设 \(\mathcal{F}\) 既是 \(\lambda\) 系又是 \(\pi\) 系。由于 \(\mathcal{F}\) 是 \(\lambda\) 系，所以

\[\begin{aligned} &X\in\mathcal{F}; \\ \\ &A\in\mathcal{F} \quad \Longrightarrow \quad A^c\in\mathcal{F}, \end{aligned} \]

由此两条结论加上 \(\mathcal{F}\) 是 \(\pi\) 系，可知 \(\mathcal{F}\) 是域。

此外，由 \(\mathcal{F}\) 是 \(\lambda\) 系可知 \(\mathcal{F}\) 为单调系。所以由命题 1.2.3 可知 \(\mathcal{F}\) 是 \(\sigma\) 域。

(8) \(\sigma\) 环：称非空集合系 \(\mathcal{R}\) 是一个 \(\sigma\) 环，如果

\[\begin{aligned} &A,B\in\mathcal{R} \quad \Longrightarrow \quad A\setminus B\in\mathcal{R}; \\ \\ &A_n\in\mathcal{R} \quad n\geq1 \quad \Longrightarrow \quad \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{R}. \end{aligned} \]

由定义可以看出，对可列并运算封闭的环是 \(\sigma\) 环，包含全空间 \(X\) 的 \(\sigma\) 环是 \(\sigma\) 域。

1.3 \(\sigma\) 域的生成

这一节我们讨论如何由简单的集合系生成复杂的集合系的问题。

定义 1.3.1：称 \(\mathcal{S}\) 为由集合系 \(\mathcal{E}\) 生成的环（或单调系，或 \(\lambda\) 系，或 \(\sigma\) 域），如果下列条件被满足：

1. \(\mathcal{S}\supset \mathcal{E}\) ；
2. 对任一环（或单调系，或 \(\lambda\) 系，或 \(\sigma\) 域）\(\mathcal{S}'\) ，均有 \(\mathcal{S}'\supset\mathcal{E}\ \ \Longrightarrow \ \ \mathcal{S}'\supset\mathcal{S}\) 。

注意：由集合系 \(\mathcal{E}\) 生成的环（或单调系，或 \(\lambda\) 系，或 \(\sigma\) 域）就是包含 \(\mathcal{E}\) 的最小的环（或单调系，或 \(\lambda\) 系，或 \(\sigma\) 域）。

我们将由集合系 \(\mathcal{E}\) 生成的环（或单调系，或 \(\lambda\) 系，或 \(\sigma\) 域）记为：

• \(r(\mathcal{E})\) ：由 \(\mathcal{E}\) 生成的环；
• \(m(\mathcal{E})\) ：由 \(\mathcal{E}\) 生成的单调系；
• \(l(\mathcal{E})\) ：由 \(\mathcal{E}\) 生成的 \(\lambda\) 系；
• \(\sigma(\mathcal{E})\) ：由 \(\mathcal{E}\) 生成的 \(\sigma\) 域。

命题 1.3.1：由任意集合系 \(\mathcal{E}\) 生成的环、单调系、\(\lambda\) 系和 \(\sigma\) 域均存在。

只证明环的情况。记 \(\mathcal{T}=\{A:A\subset X\}\) ，则 \(\mathcal{T}\) 是一个 \(\sigma\) 域，进而 \(\mathcal{T}\) 是环。

记 \(\mathbf{B}\) 为包含集合系 \(\mathcal{E}\) 的环的全体，则有 \(\mathcal{T}\in\mathbf{B}\) ，故 \(\mathbf{B}\) 非空。

记 \(\mathcal{S}\equiv\displaystyle\bigcap_{\mathcal{A}\in\mathbf{B}}\mathcal{A}\) ，则 \(\mathcal{S}\) 仍是环：

\[\begin{aligned} A_1,A_2\in\mathcal{S} & \quad\Longrightarrow\quad \forall\mathcal{A}\in\mathbf{B},\ \ A_1,A_2\in \mathcal{A} \\ \\ & \quad\Longrightarrow\quad A_1\cup A_2\in\mathcal{A} \ , \quad A_1\setminus A_2 \in\mathcal{A} \\ \\ & \quad\Longrightarrow\quad A_1\cup A_2\in \bigcap_{\mathcal{A}\in\mathbf{B}}\mathcal{A}=\mathcal{S} , \quad A_1\setminus A_2\in \bigcap_{\mathcal{A}\in\mathbf{B}}\mathcal{A}=\mathcal{S}. \end{aligned} \]

因为 \(\mathbf{B}\) 为包含集合系 \(\mathcal{E}\) 的环的全体，所以对 \(\forall\mathcal{A}\in\mathbf{B}\) ，均有 \(\mathcal{E}\subset \mathcal{A}\) ，所以

\[\mathcal{E}\subset \displaystyle\bigcap_{\mathcal{A}\in\mathbf{B}}\mathcal{A}=\mathcal{S}. \]

由 \(\mathcal{S}\) 的定义可知，对 \(\forall \mathcal{A}'\in\mathbf{B}\) ，均有

\[\mathcal{S}=\bigcap_{\mathcal{A}\in\mathbf{B}}\mathcal{A}\subset \mathcal{A}'. \]

所以 \(\mathcal{S}\) 是由 \(\mathcal{E}\) 生成的环。

定理 1.3.2：如果 \(\mathcal{Q}\) 是半环，则

\[r(\mathcal{Q})=\bigcup_{n=1}^\infty\left\{\bigcup_{k=1}^nA_k:\{A_k\in\mathcal{Q},k=1,2,\cdots,n\}\text{ 两两不交}\right\}. \]

记等号右边的集合为 \((\mathrm{R})\) ，先证 \((\mathrm{R})\subset r(\mathcal{Q})\) 。考虑 \((\mathrm{R})\) 中任意元素：

\[\begin{aligned} \bigcup_{k=1}^nA_k\in({\rm R})\quad &\Longrightarrow\quad A_k\in\mathcal{Q},\quad k=1,2,\cdots,n, \\ \\ &\Longrightarrow \quad A_k\in r(\mathcal{Q}),\quad k=1,2,\cdots,n , \\ \\ &\Longrightarrow \quad \bigcup_{k=1}^nA_k\in r(\mathcal{Q}). \end{aligned} \]

其中，第三行是由于环关于有限并运算是封闭的。所以 \((\mathrm{R})\subset r(\mathcal{Q})\) 。

下证 \(r(\mathcal{Q})\subset(\mathrm{R})\) 。

因为 \(A\in\mathcal{Q}\ \ \Longrightarrow\ \ A\in(\mathrm{R})\) ，所以 \(\mathcal{Q}\subset(\mathrm{R})\) 。由于 \(r(\mathcal{Q})\) 是包含 \(\mathcal{Q}\) 的最小的环，故只需证 \((\mathrm{R})\) 是一个环。

设 \(A,B\in({\rm R})\) ，则存在 \(\{A_i\in\mathcal{Q},i=1,2,\cdots,n\}\) 两两不交和 \(\{B_j\in\mathcal{Q},j=1,2,\cdots,m\}\) 两两不交，使得

\[A=\bigcup_{i=1}^nA_i,\quad B=\bigcup_{j=1}^mB_j. \]

因为 \(\mathcal{Q}\) 是半环，所以对每一对 \((i,j)\) ，存在 \(\{C_l^{ij}\in\mathcal{Q},l=1,2,\cdots,k_{ij}\}\) 两两不交，使得

\[A_i\setminus B_j=A_i-(A_i\cap B_j)=\bigcup_{l=1}^{k_{ij}}C_l^{ij}. \]

把 \(A\setminus B\) 写成 \(\mathcal{Q}\) 中有限个两两不交的集合的并：

\[\begin{aligned} A\setminus B&=A\cap B^c=\bigcup_{i=1}^n(A_i\cap B^c)=\bigcup_{i=1}^n\bigcap_{j=1}^m(A_i\cap B_j^c) \\ \\ &=\bigcup_{i=1}^n\bigcap_{j=1}^m(A_i\setminus B_j)= \bigcup_{i=1}^n\bigcap_{j=1}^m\bigcup_{l=1}^{k_{ij}}C_l^{ij} \\ \\ &=\bigcup_{i=1}^n \bigcup_{\begin{array}{c}l_1=1,2,\cdots,k_{i1} \\ \vdots \\ l_m=1,2,\cdots,k_{im} \end{array}}\left(C_{l_1}^{i1}\cap C_{l_2}^{i2}\cap\cdots\cap C_{l_m}^{im}\right). \end{aligned} \]

易知，有 \(\left(C_{l_1}^{i1}\cap C_{l_2}^{i2}\cap\cdots\cap C_{l_m}^{im}\right)\in\mathcal{Q},\ i=1,2,\cdots,n,\ l_1=1,2,\cdots,k_{i1},\cdots,l_m=1,2,\cdots,k_{im}\) ，且两两不交。所以 \(A\setminus B\in({\rm R})\) 。

把 \(A\cup B\) 写成 \(\mathcal{Q}\) 中有限个两两不交的集合的并：

\[A\cup B=B\cup (A\setminus B)=\left(\bigcup_{j=1}^mB_j\right)\cup\left(\bigcup_{\begin{array}{c}l_1=1,2,\cdots,k_{i1} \\ \vdots \\ l_m=1,2,\cdots,k_{im} \end{array}}\left(C_{l_1}^{i1}\cap C_{l_2}^{i2}\cap\cdots\cap C_{l_m}^{im}\right)\right). \]

易知，有 \(\left(C_{l_1}^{i1}\cap C_{l_2}^{i2}\cap\cdots\cap C_{l_m}^{im}\right)\in\mathcal{Q},\ i=1,2,\cdots,n,\ l_1=1,2,\cdots,k_{i1},\cdots,l_m=1,2,\cdots,k_{im}\) ，以及 \(B_j\in\mathcal{Q}\ j=1,2,\cdots,m\) ，且两两不交。所以 \(A\cup B\in({\rm R})\) 。

所以 \({\rm R}\) 是一个环。证毕。

定理 1.3.3：若 \(\mathcal{A}\) 是域，则 \(\sigma(\mathcal{A})=m(\mathcal{A})\) 。

先证 \(m(\mathcal{A})\subset \sigma(\mathcal{A})\) 。

因为 \(\sigma\) 域是单调系，所以 \(\sigma(\mathcal{A})\) 是一个包含 \(\mathcal{A}\) 的单调系，所以 \(m(\mathcal{A})\subset\sigma(\mathcal{A})\) 。

下证 \(\sigma(\mathcal{A})\subset m(\mathcal{A})\) 。

由命题 1.2.3 可知，只需证 \(m(\mathcal{A})\) 是域。因为 \(X\in\mathcal{A}\) ，故只需证 \(m(\mathcal{A})\) 为环。

对 \(\forall A\in\mathcal{A}\) ，令 \(\mathcal{G}_A=\{B:B,A\cup B,A\setminus B\in m(\mathcal{A})\}\) ，则 \(\mathcal{G}_A\) 为单调系，且 \(\mathcal{A}\subset \mathcal{G}_A\) 。

验证 \(\mathcal{G}_A\) 为单调系：设 \(B_n\uparrow,\ B_n\in\mathcal{G}_A,\ n\geq1\) ，则有

(1) \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty B_n\in m(\mathcal{A})\) 。原因：\(B_n\in m(\mathcal{A}),\ B_n\uparrow\) 且 \(m(\mathcal{A})\) 是单调系。

(2) \(\displaystyle A\cup \left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)\in m(\mathcal{A})\) 。原因：\(A\cup B_n\in m(\mathcal{A}),\ A\cup B_n\uparrow\) 且 \(m(\mathcal{A})\) 是单调系。

(3) \(\displaystyle A\setminus \left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)=\bigcap_{n=1}^\infty\left(A\cap B_n^c\right)\in m(\mathcal{A})\) 。原因：\(A\cup B_n\in m(\mathcal{A}),\ A\cup B_n\downarrow\) 且 \(m(\mathcal{A})\) 是单调系。

所以 \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty B_n\in\mathcal{G}_A\) 。同理可知，设 \(B_n\downarrow,\ B_n\in\mathcal{G}_A,\ n\geq1\) ，则有 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty B_n\in\mathcal{G}_A\) 。

所以 \(\mathcal{G}_A\) 是单调系。

验证 \(\mathcal{A}\subset \mathcal{G}_A\) ：设 \(B\in\mathcal{A}\) ，则

\[(A\cup B)\in\mathcal{A}\subset m(\mathcal{A}),\quad A\setminus B=A\cap B^c\in\mathcal{A}\subset m(\mathcal{A}), \]

由 \(\mathcal{G}_A\) 的定义可知 \(B\in\mathcal{G}_A\) ，所以 \(\mathcal{A}\subset \mathcal{G}_A\) 。

由于 \(m(\mathcal{A})\) 是包含 \(\mathcal{A}\) 的最小的单调系，所以 \(m(\mathcal{A})\subset \mathcal{G}_A\) ，这表明

\[A\in\mathcal{A},\quad B\in m(\mathcal{A}) \quad \Longrightarrow \quad B\in\mathcal{G}_A \quad \Longrightarrow \quad A\cup B,A\setminus B\in m(\mathcal{A}). \]

同理，对 \(\forall B\in m(\mathcal{A})\) ，令 \(\mathcal{H}_B=\{A:A,A\cup B,A\setminus B\in m(\mathcal{A})\}\) ，则 \(\mathcal{H}_B\) 为单调系，且 \(\mathcal{A}\subset \mathcal{H}_B\) 。

验证 \(\mathcal{A}\subset \mathcal{H}_B\) ：设 \(A\in\mathcal{A}\subset m(\mathcal{A})\) ，由已证结论可知 \(A\cup B,A\setminus B\in m(\mathcal{A})\) 。

由 \(\mathcal{H}_B\) 的定义知 \(A\in\mathcal{H}_B\) ，所以 \(\mathcal{A}\subset \mathcal{H}_B\) 。

再由于 \(m(\mathcal{A})\) 是包含 \(\mathcal{A}\) 的最小的单调系，所以 \(m(\mathcal{A})\subset\mathcal{H}_B\) ，这表明

\[A,B\in m(\mathcal{A}) \quad \Longrightarrow \quad A\in\mathcal{H}_B \quad \Longrightarrow \quad A\cup B\in m(\mathcal{A}),\quad A\setminus B\in m(\mathcal{A}). \]

所以 \(m(\mathcal{A})\) 是一个环。证毕。

推论 1.3.4：若 \(\mathcal{A}\) 是域，\(\mathcal{M}\) 是单调系，则 \(\mathcal{A}\subset\mathcal{M}\ \ \Longrightarrow \ \ \sigma(\mathcal{A})=m(\mathcal{A})\subset \mathcal{M}\) 。

定理 1.3.5：若 \(\mathcal{P}\) 是 \(\pi\) 系，则 \(\sigma(\mathcal{P})=l(\mathcal{P})\) 。

因为 \(\sigma\) 域是 \(\lambda\) 系，所以 \(l(\mathcal{P})\subset\sigma(\mathcal{P})\) 。下证 \(\sigma(\mathcal{P})\subset l(\mathcal{P})\) ，只需证 \(l(\mathcal{P})\) 是 \(\sigma\) 域。

又命题 1.2.4 可知，只需证 \(l(\mathcal{P})\) 是 \(\pi\) 系。

对 \(\forall A\in\mathcal{P}\) ，令 \(\mathcal{G}_A=\{B:B,A\cap B\in l(\mathcal{P})\}\) ，则 \(\mathcal{G}_A\) 是 \(\lambda\) 系，且 \(\mathcal{P}\subset \mathcal{G}_A\) 。

验证 \(\mathcal{G}_A\) 是 \(\lambda\) 系：

(1) 因为 \(X\in l(\mathcal{P})\) ，所以 \(A\cap X=A\in\mathcal{P}\subset l(\mathcal{P})\) ，所以 \(X\in l(\mathcal{P})\) 。

(2) 设 \(B_1,B_2\in\mathcal{G}_A\) 且 \(B_1\supset B_2\) ，则

\[\begin{aligned} &\Longrightarrow \quad B_1,B_2,A\cap B_1,A\cap B_2\in l(\mathcal{P}),\quad B_1\supset B_2 \\ \\ &\Longrightarrow \quad B_1-B_2\in l(\mathcal{P}),\quad A\cap(B_1-B_2)=(A\cap B_1)-(A\cap B_2)\in l(\mathcal{P}) \\ \\ &\Longrightarrow \quad B_1-B_2\in\mathcal{G}_A. \end{aligned} \]

(3) 设 \(B_n\uparrow,\ B_n\in\mathcal{G}_A,\ n\geq1\) ，则

\[\begin{aligned} &\Longrightarrow \quad B_n\in l(\mathcal{P}), \quad B_n\uparrow ,\quad A\cap B_n\in l(\mathcal{P}),\quad A\cap B_n\uparrow \\ \\ &\Longrightarrow \quad \bigcup_{n=1}^\infty B_n\in l(\mathcal{P}),\quad A\cap\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)=\bigcup_{n=1}^\infty(A\cap B_n)\in l(\mathcal{P}) \\ \\ &\Longrightarrow \quad \bigcup_{n=1}^\infty B_n\in\mathcal{G}_A. \end{aligned} \]

所以 \(\mathcal{G}_A\) 为 \(\lambda\) 系。

验证 \(\mathcal{P}\subset \mathcal{G}_A\) ：设 \(B\in\mathcal{P}\) ，由 \(\mathcal{P}\) 是 \(\pi\) 系可知 \(A\cap B\in\mathcal{P}\subset l(\mathcal{P})\) 。

由 \(\mathcal{G}_A\) 的定义可知 \(B\in\mathcal{G}_A\) ，所以 \(\mathcal{P}\subset \mathcal{G}_A\)

由于 \(l(\mathcal{P})\) 是包含 \(\mathcal{P}\) 的最小的 \(\lambda\) 系，所以 \(l(\mathcal{P})\subset \mathcal{G}_A\) ，这表明

\[A\in\mathcal{P},\quad B\in l(\mathcal{P}) \quad \Longrightarrow \quad B\in\mathcal{G}_A \quad \Longrightarrow \quad A\cap B\in l(\mathcal{P}). \]

同理，对 \(\forall B\in l(\mathcal{P})\) ，令 \(\mathcal{H}_B=\{A:A,A\cap B\in l(\mathcal{P})\}\) ，则 \(\mathcal{H}_B\) 是 \(\lambda\) 系，且 \(\mathcal{P}\subset \mathcal{H}_B\) 。

验证 \(\mathcal{P}\subset \mathcal{H}_B\) ：设 \(A\in\mathcal{P}\subset l(\mathcal{P})\) ，由已证结论可知 \(A\cap B\in l(\mathcal{P})\) 。

由 \(\mathcal{H}_B\) 的定义知 \(A\in\mathcal{H}_B\) ，所以 \(\mathcal{P}\subset \mathcal{H}_B\) 。

再由于 \(l(\mathcal{P})\) 是包含 \(\mathcal{P}\) 的最小的 \(\lambda\) 系，所以 \(l(\mathcal{P})\subset\mathcal{H}_B\) ，这表明

\[A,B\in l(\mathcal{P}) \quad \Longrightarrow \quad A\in\mathcal{H}_B \quad \Longrightarrow \quad A\cap B\in l(\mathcal{P}). \]

所以 \(l(\mathcal{P})\) 是一个 \(\pi\) 系。证毕。

推论 1.3.6：若 \(\mathcal{P}\) 是 \(\pi\) 系，\(\mathcal{L}\) 是 \(\lambda\) 系，则 \(\mathcal{P}\subset\mathcal{L}\ \ \Longrightarrow\ \ l(\mathcal{P})\subset\mathcal{L}\) 。

Borel 集合系：回忆 \(\mathcal{Q}_{\mathbb{R}}=\{(a,b]:a,b\in\mathbb{R}\}\) 为半环，\(\mathcal{P}_{\mathbb{R}}=\{(-\infty,a]:a\in\mathbb{R}\}\) 为 \(\pi\) 系，定义

\[\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\equiv \sigma(\mathcal{P}_\mathbb{R})=\sigma(\mathcal{Q}_\mathbb{R}), \]

称为 \(\mathbb{R}\) 上的 Borel 集合系，也称为 Borel \(\sigma\) 域，其中的集合称为 \(\mathbb{R}\) 上的 Borel 集。

证明 \(\sigma(\mathcal{P}_\mathbb{R})=\sigma(\mathcal{Q}_\mathbb{R})\) 。

对 \(\forall A=(a,b]\in\mathcal{Q}_{\mathbb{R}}\) ，由于 \(A=(-\infty,b]\setminus(-\infty,a]\in\sigma(\mathcal{P}_{\mathbb{R}})\) ，所以 \(\mathcal{Q}_\mathbb{R}\subset \sigma(\mathcal{P}_\mathbb{R})\) 。

由于 \(\sigma(\mathcal{Q}_\mathbb{R})\) 是包含 \(\mathcal{Q}_\mathbb{R}\) 的最小的 \(\sigma\) 域，所以 \(\sigma(\mathcal{Q}_\mathbb{R})\subset \sigma(\mathcal{P}_{\mathbb{R}})\) 。

对 \(\forall A=(-\infty,a]\in\mathcal{P}_{\mathbb{R}}\) ，由于 \(A=\bigcup_{n=1}^\infty(a-n,a]\in\sigma(\mathcal{Q}_{\mathbb{R}})\) ，所以 \(\mathcal{P}_\mathbb{R}\subset \sigma(\mathcal{Q}_\mathbb{R})\) 。

由于 \(\sigma(\mathcal{P}_\mathbb{R})\) 是包含 \(\mathcal{P}_\mathbb{R}\) 的最小的 \(\sigma\) 域，所以 \(\sigma(\mathcal{P}_\mathbb{R})\subset \sigma(\mathcal{Q}_{\mathbb{R}})\) 。

所以 \(\sigma(\mathcal{P}_\mathbb{R})=\sigma(\mathcal{Q}_\mathbb{R})\) 。