1. 前言
哈希表或称为散列表，是一种常见的、使用频率非常高的数据存储方案。
哈希表属于抽象数据结构，需要开发者按哈希表数据结构的存储要求进行 API 定制，对于大部分高级语言而言，都会提供已经实现好的、可直接使用的 API，如 JAVA 中有 MAP 集合、C++ 中的 MAP 容器，Python 中的字典……
使用者可以使用 API 中的方法完成对哈希表的增、删、改、查……一系列操作。
如何学习哈希表？
可以从 2 个角度开始：
- 使用者角度：只需要知道哈希表是基于键、值对存储的解决方案，另需要熟悉不同计算机语言提供的基于哈希表数据结构的 API实现，学会使用 API中的方法。
- 开发者的角度：则需要知道哈希表底层实现原理，以及实现过程中需要解决的各种问题。本文将站在开发者的角度，带着大家一起探究哈希的世界。
2. 哈希表
什么是哈希表？
哈希表是基于键、值对存储的数据结构，底层一般采用的是列表(数组)。
大家都知道，基于列表（数组）的查询速度非常快，时间复杂度是 O（1），常量级别的。
列表的底层存储结构是连续的内存区域，只要给定数据在列表（数组）中的位置，就能直接查询到数据。理论上是这么回事，但在实际操作过程，查询数据的时间复杂度却不一定是常量级别的。
如存储下面的学生信息，学生信息包括学生的姓名和学号。在存储学生数据时，如果把学号为 0 的学生存储在列表 0 位置，学号为 1 的学生存储在列表 1 位置……
这里把学生的学号和列表的索引号进行关联，查询某一个学生时，知道了学生的学号也就知道了学生数据存储在列表中的位置，可以认为查询的时间复杂度为 O(1)。
之所以可以达到常量级，是因为这里有信息关联（学生学号关联到数据的存储位置）。
还有一点，学生的学号是公开信息也是常用信息，很容易获取。
但是，不是存储任何数据时，都可以找到与列表位置相关联的信息。比如存储所有的英文单词，不可能为每一个英文单词编号，即使编号了，编号在这里也仅仅是流水号，没有数据含义的数据对于使用者来讲是不友好，谁也无法记住哪个英文单词对应哪个编号。
所以使用列表存储英文单词后需要询时，因没有单词的存储位置。还是需要使用如线性、二分……之类的查询算法，这时的时间复杂度由使用的查询算法的时间复杂度决定。
如果对上述存储在列表的学生信息进行了插入、删除……等操作，改变了数据原来的位置后，因破坏了学号与位置关联信息，再查询时也只能使用其它查询算法，不可能达到常量级。
是否存在一种方案，能最大化地优化数据的存储和查询？
通过上述的分析，可以得出一个结论，要提高查询的速度，得想办法把数据与位置进行关联。而哈希表的核心思想便是如此。
2.1 哈希函数
哈希表引入了关键字概念，关键字可以认为是数据的别名。如上表，可以给每一个学生起一个别名，这个就是关键字。
Tip： 这里的关键字是姓名的拼音缩写，关键字和数据的关联性较强，方便记忆和查询。
有了关键字后，再把关键字映射成列表中的一个有效位置，映射方法就是哈希表中最重要的概念哈希函数。
关键字是一个桥梁，即关联到真正数据又关联到哈希表中的位置。
关键字也可以是需要保存的数据本身。
哈希函数的功能：提供把关键字映射到列表中的位置算法，是哈希表存储数据的核心所在。如下图，演示数据、哈希函数、哈希表之间的关系，可以说哈希函数是数据进入哈希表的入口。
数据最终会存储在列表中的哪一个位置，完全由哈希算法决定。
当需要查询学生数据时，同样需要调用哈希函数对关键字进行换算，计算出数据在列表中的位置后就能很容易查询到数据。
如果忽视哈希函数的时间复杂度，基于哈希表的数据存储和查询时间复杂度是 O(1)。
如此说来哈希函数算法设计的优劣是影响哈希表性能的关键所在。
2.2 哈希算法
哈希算法决定了数据的最终存储位置，不同的哈希算法设计方案，也关乎哈希表的整体性能，所以，哈希算法就变得的尤为重要。
下文将介绍并纵横比较几种常见的 哈希算法的设计方案。
Tip： 无论使用何种哈希算法，都有一个根本，哈希后的结果一定是一个数字，表示列表（哈希表）中的一个有效位置。也称为哈希值。
使用哈希表存储数据时，关键字可以是数字类型也可以是非数字类型，其实，关键字可以是任何一种类型。这里先讨论当关键字为非数字类型时设计哈希算法的基本思路。
如前所述，已经为每一个学生提供了一个以姓名的拼音缩写的关键字。
现在如何把关键字映射到列表的一个有效位置？
这里可以简单地把拼音看成英文中的字母，先分别计算每一个字母在字母表中的位置，然后相加，得到的一个数字。
使用上面的哈希思想对每一个学生的关键字进行哈希：
- zjl的哈希值为 26+10+12=48。
- llj的哈希值为 12+12+10=34。
- cl 的哈希值为 3+12=15。
- zxy的哈希值为 26+25+24=75。
前文说过哈希值是表示数据在列表中的存储位置，现在假设一种理想化状态，学生的姓名都是 3 个汉字，意味着关键字也是 3 个字母，采用上面的的哈希算法，最大的哈希值应该是zzz=26+26+26=78，意味着至少应该提供一个长度为 78的列表 。
如果，现在仅仅只保存 4 名学生，虽然只有 4 名学生，因无法保证学生的关键字不出现zzz，所以列表长度还是需要 78。如下图所示。
采用这种哈希算法会导致列表的空间浪费严重，最直观想法是对哈希值再做约束，如除以 4 再取余数，把哈希值限制在 4 之内，4 个数据对应 4 个哈希值。我们称这种取余数方案为取余数算法。
取余数法中，被除数一般选择小于哈希表长度的素数。本文介绍其它哈希算法时，也会使用取余数法对哈希值进行适当范围的收缩。
重新对 4 名学生的关键字进行哈希。
- zjl的哈希值为 26+10+12=48，48 除以 4 取余数，结果是0。
- llj的哈希值为 12+12+10=34，34 除以 4 取余数，结果是2。
- cl 的哈希值为 3+12=15，15 除以 4 取余数，结果是3。
- zzz的哈希值为 26+26+26=78，78 除以 4 取余数，结果是2。
演示图上出现了一个很奇怪的现象，没有看到李连杰的存储信息。
4个存储位置存储 4学生，应该是刚刚好，但是，只存储了 3名学生。且还有 1个位置是空闲的。现在编码验证一下，看是不是人为因素引起的。
''' 哈希函数 ''' def hash_code(key): # 设置字母 A 的在字母表中的位置是 1 pos = 0 for i in key: i = i.lower() res = ord(i) - ord('a') + 1 pos += res return pos % 4测试代码：
# 哈希表 hash_table = [None] * 4 # 计算关键字的哈希值 idx = hash_code('zjl') # 根据关键字换算出来的位置存储数据 hash_table[idx] = '周杰伦' idx = hash_code('llj') hash_table[idx] = '李连杰' idx = hash_code('cl') hash_table[idx] = '成龙' idx = hash_code('zzz') hash_table[idx] = '张志忠' print('哈希表中的数据：', hash_table) ''' 输出结果： 哈希表中的数据： ['周杰伦', None, '张志忠', '成龙'] '''执行代码，输出结果，依然还是没有看到李连杰的信息。
原因何在？
这是因为李连杰和张志忠的哈希值都是 2 ，导致在存储时，后面存储的数据会覆盖前面存储的数据，这就是哈希中的典型问题，哈希冲突问题。
所谓哈希冲突，指不同的关键字在进行哈希算法后得到相同的哈希值，这意味着，不同关键字所对应的数据会存储在同一个位置，这肯定会发生数据丢失，所以需要提供算法，解决冲突问题。
Tip： 研究哈希表，归根结底，是研究如何计算哈希值以及如何解决哈希值冲突的问题。
针对上面的问题，有一种想当然的冲突解决方案，扩展列表的存储长度，如把列表扩展到长度为 8。
直观思维是：扩展列表长度，哈希值的范围会增加，冲突的可能性会降低。
''' 哈希函数 ''' def hash_code(key): # 设置字母 A 的在字母表中的位置是 1 pos = 0 for i in key: i = i.lower() res = ord(i) - ord('a') + 1 pos += res return pos % 8 # 哈希表 hash_table = [None] * 8 # 保存所有学生 idx = hash_code('zjl') hash_table[idx] = '周杰伦' idx = hash_code('llj') hash_table[idx] = '李连杰' idx = hash_code('cl') hash_table[idx] = '成龙' idx = hash_code('zzz') hash_table[idx] = '张志忠' print('哈希表中的数据：', hash_table) ''' 输出结果： 哈希表中的数据： ['周杰伦', None, '李连杰', None, None, None, '张志忠', '成龙'] '''
貌似解决了冲突问题，其实不然，当试着设置列表的长度为6、7、8、9、10时，只有当长度为 8时没有发生冲突，这还是在要存储的数据是已知情况下的尝试。
如果数据是动态变化的，显然这种扩展长度的方案绝对不是本质解决冲突的方案。即不能解决冲突，且产生大量空间浪费。
如何解决哈希冲突，会在后文详细介绍，这里还是回到哈希算法上。
综上所述，我们对哈希算法的理想要求是：
- 为每一个关键字生成一个唯一的哈希值，保证每一个数据都有只属于自己的存储位置。
- 哈希算法的性能时间复杂度要低。
现实情况是，同时满足这 2 个条件的哈希算法几乎是不可能有的，面对数据量较多时，哈希冲突是常态。所以，只能是尽可能满足。
因冲突的存在，即使为 100 个数据提供 100 个有效存储空间，还是会有空间闲置。这里把实际使用空间和列表提供的有效空间相除，得到的结果，称之为哈希表的占有率（载荷因子）。
如上述，当列表长度为 4时， 占有率为 3/4=0.75，当列表长度为 8 时，占有率为 4/8=0.5，一般要求占率控制 在0.6~0.9之间。
2.3 常见哈希算法
前面在介绍什么是哈希算法时，提到了取余数法，除此之外，还有几种常见的哈希算法。
2.3.1 折叠法
折叠法：将关键字分割成位数相同的几个部分（最后一部分的位数可以不同）然后取这几部分的叠加和（舍去进位）作为哈希值。
折叠法又分移位叠加和间界叠加。
-
移位叠加：将分割后的每一部分的最低位对齐，然后相加。
- 间界叠加：从一端沿分割线来回折叠，然后对齐相加。
因有相加求和计算，折叠法适合数字类型或能转换成数字类型的关键字。假设现在有很多商品订单信息，为了简化问题，订单只包括订单编号和订单金额。
现在使用用哈希表存储订单数据，且以订单编号为关键字，订单金额为值。
订单编号 订单金额 20201011 400.00 19981112 300.00 20221212 200移位叠法换算关键字的思路：
第一步：把订单编号 20201011 按每3位一组分割，分割后的结果：202、010、11。
按 2 位一组还是 3 位一组进行分割，可以根据实际情况决定。
第二步： 把分割后的数字相加 202+010+11，得到结果：223。再使用取余数法，如果哈希表的长度为 10，则除以 10后的余数为3。
这里除以 10 仅是为了简化问题细节，具体操作时，很少选择列表的长度。
第三步：对其它的关键字采用相同的处理方案。
关键字 哈希值 20201011 3 19981112 2 20221212 6编码实现保存商品订单信息：
''' 移位叠加哈希算法 ''' def hash_code(key, hash_table_size): # 转换成字符串 key_s = str(key) # 保存求和结果 s = 0 # 使用切片 for i in range(0, len(key_s), 3): s += int(key_s[i:i + 3]) return s % hash_table_size # 商品信息 products = [[20201011, 400.00], [19981112, 300], [20221212, 200]] # 哈希表长度 hash_size = 10 # 哈希表 hash_table = [None] * hash_size # 以哈希表方式进行存储 for p in products: key = hash_code(p[0], hash_size) hash_table[key] = p[1] # 显示哈希表中的数据 print("哈希表中的数据：",hash_table) # 根据订单号进行查询 hash_val = hash_code(19981112, hash_size) val = hash_table[hash_val] print("订单号为{0}的金额为{1}".format(19981112, val)) ''' 输出结果 哈希表中的数据： [None, None, 300, 400.0, None, None, 200, None, None, None] 订单号为19981112的金额为300 '''间界叠加法：
间界叠加法，会间隔地把要相加的数字进行反转。
如订单编号 19981112 按3位一组分割，分割后的结果：199、811、12，间界叠加操作求和表达式为 199+118+12=339，再把结果 339 % 10=9。
编码实现间界叠加算法：
''' 间界叠加哈希算法 ''' def hash_code(key, hash_table_size): # 转换成字符串 key_s = str(key) # 保存求和结果 s = 0 # 使用切片 for i in range(0, len(key_s), 3): # 切片 tmp_s = key_s[i:i + 3] # 反转 if i % 2 != 0: tmp_s = tmp_s[::-1] s += int(tmp_s) return s % hash_table_size # 商品信息（数据样例） products = [[20201011, 400.00], [19981112, 300], [20221212, 200]] # 哈希表长度 hash_size = 10 # 哈希表 hash_table = [None] * hash_size # 以哈希表方式进行存储 for p in products: key = hash_code(p[0], hash_size) hash_table[key] = p[1] # 显示哈希表中的数据 print("哈希表中的数据：", hash_table) # 根据订单号进行查询 hash_val = hash_code(19981112, hash_size) val = hash_table[hash_val] print("订单号为{0}的金额为{1}".format(19981112, val)) ''' 输出结果： 哈希表中的数据： [None, None, None, 400.0, None, None, 200, None, None, 300] 订单号为19981112的金额为300 '''2.3.2 平方取中法
平方取中法：先是对关键字求平方，再在结果中取中间位置的数字。
求平方再取中算法，是一种较常见的哈希算法，从数学公式可知，求平方后得到的中间几位数字与关键字的每一位都有关，取中法能让最后计算出来的哈希值更均匀。
因要对关键字求平方，关键字只能是数字或能转换成数字的类型，至于关键字本身的大小范围限制，要根据使用的计算机语言灵活设置。
如下面的图书数据，图书包括图书编号和图书名称。现在需要使用哈希表保存图书信息，以图书编号为关键字，图书名称为值。
图书编号 图书名称 58 python 从入门到精通 67 C++ STL 78 Java 内存模型使用平方取中法计算关键字的哈希值：
第一步：对图书编号 58 求平方，结果为 3364。
第二步：取 3364的中间值36，然后再使用取余数方案。如果哈希表的长度为 10，则 36%10=6。
第三步：对其它的关键字采用相同的计算方案。
编码实现平方取中算法：
''' 哈希算法 平方取中 ''' def hash_code(key, hash_table_size): # 求平方 res = key ** 2 # 取中间值，这里取中间 2 位（简化问题） res = int(str(res)[1:3]) # 取余数 return res % hash_table_size hash_table_size = 10 hash_table = [None]*hash_table_size # 图书信息 books = [[58, "python 从入门到精通"], [67, "C++ STL"], [78, "Java 内存模型"]] for b in books: hash_val = hash_code(b[0],hash_table_size) hash_table[hash_val]=b[1] # 显示哈希表中的数据 print("哈希表中的数据：", hash_table) # 根据编号进行查询 hash_val = hash_code(67, hash_table_size) val = hash_table[hash_val] print("编号为{0}的书名为{1}".format(67, val))上述求平方取中间值的算法仅针对于本文提供的图书数据，如果需要算法具有通用性，则需要根据实际情况修改。
不要被 取中的中字所迷惑，不一定是绝对中间位置的数字。
2.3.3 直接地址法
直接地址法：提供一个与关键字相关联的线性函数。如针对上述图书数据，可以提供线性函数 f(k)=2*key+10。
系数2和常数10的选择会影响最终生成的哈希值的大小。可以根据哈希表的大小和操作的数据含义自行选择。
key 为图书编号。当关键字不相同时，使用线性函数得到的值也是唯一的，所以，不会产生哈希冲突，但是会要求哈希表的存储长度比实际数据要大。
这种算法在实际应用中并不多见。
实际应用时，具体选择何种哈希算法，完全由开发者定夺，哈希算法的选择没有固定模式可循，虽然上面介绍了几种算法，只是提供一种算法思路。
2.4 哈希冲突
哈希冲突是怎么引起的，前文已经说过。现在聊聊常见的几种哈希冲突解决方案。
2.4.1 线性探测
当发生哈希冲突后，会在冲突位置之后寻找一个可用的空位置。如下图所示，使用取余数哈希算法，保存数据到哈希表中。
哈希表的长度设置为 15，除数设置为 13。
解决冲突的流程：
78和26的哈希值都是 0。而因为78在26的前面，78先占据哈希表的 0位置。
当存储 26时，只能以 0位置为起始位置，向后寻找空位置，因 1位置没有被其它数据占据，最终保存在哈希表的1位置。
线性探测法让发生哈希冲突的数据保存在其它数据的哈希位置，如果冲突的数据较多，则占据的本应该属于其它数据的哈希位置也较多，这种现象称为哈希聚集。
查询流程：
以查询数据14为例。
所以，在查询过程中，除了要提供哈希函数，还需要提供数据比较函数。
删除流程：
以删除数字26为例。
按上述的查询流程找到数字26在哈希表中的位置1。
设置位置1为删除状态，一定要标注此位置曾经保存过数据，而不能设置为空状态。为什么？
如果设置为空状态，则在查询数字14时，会产生错误的返回结果，会认为 14不存在。为什么？自己想想。
编码实现线性探测法：
添加数据：
''' 线性探测法解决哈希冲突 ''' def hash_code(key, hash_table, num): # 哈希表的长度 size = len(hash_table) # 取余数法计算哈希值 hash_val = key % num # 检查此位置是否已经保存其它数据 if hash_table[hash_val] is not None: # 则从hash_val 之后寻找空位置 for i in range(hash_val + 1, size + hash_val): if i >= size: i = i % size if hash_table[i] is None: hash_val = i break return hash_val # 哈希表 hash_table = [None] * 15 src_nums = [25, 78, 56, 32, 88, 26, 73, 81, 14] for n in src_nums: hash_val = hash_code(n, hash_table, 13) hash_table[hash_val] = n print("哈希表中的数据：", hash_table) ''' 输出结果： 哈希表中的数据： [78, 26, 14, 81, 56, None, 32, None, 73, None, 88, None, 25, None, None] '''Tip：为了保证当哈希值发生冲突后，如果从冲突位置查到哈希表的结束位置还是没有找到空位置，则再从哈希表的起始位置，也就是 0 位置再搜索到冲突位置。冲突位置是起点也是终点，构建一个查找逻辑环，以保证一定能找到空位置。
for i in range(hash_val + 1, size + hash_val): pass基于线性探测的数据查询过程和存储过程大致相同：
def get(key, hash_table, num): # 哈希表的长度 size = len(hash_table) # 取余数法计算哈希值 hash_val = key % num is_exist = False # 检查此位置是否已经保存其它数据 if hash_table[hash_val] is None: # 不存在 return None if hash_table[hash_val] != key: # 则从hash_val 之后寻找空位置 for i in range(hash_val + 1, size + hash_val): if i >= size: i = i % size if hash_table[i] == key: hash_val = i is_exist = True break else: is_exist=True if is_exist: return hash_val # 测试 res = get(25, hash_table, 13) print(res)为了减少数据聚集，可以采用增量线性探测法，所谓增量指当发生哈希冲突后，探测空位置时，使用步长值大于 1的方式跳跃式向前查找。目的是让数据分布均匀，减小数据聚集。
除了采用增量探测之外，还可以使用再哈希的方案。也就是提供2 个哈希函数，第 1 次哈希值发生冲突后，再调用第 2 个哈希函数再哈希，直到冲突不再产生。这种方案会增加计算时间。
2.4.4 链表法
上面所述的冲突解决方案的核心思想是，当冲突发生后，在哈希表中再查找一个有效空位置。
这种方案的优势是不会产生额外的存储空间，但易产生数据聚集，会让数据的存储不均衡，并且会违背初衷，通过关键字计算出来的哈希值并不能准确描述数据正确位置。
链表法应该是所有解决哈希冲突中较完美的方案。所谓链表法，指当发生哈希冲突后，以冲突位置为首结点构建一条链表，以链表方式保存所有发生冲突的数据。如下图所示：
链表方案解决冲突，无论在存储、查询、删除时都不会影响其它数据位置的独立性和唯一性，且因链表的操作速度较快，对于哈希表的整体性能都有较好改善。
使用链表法时，哈希表中保存的是链表的首结点。首结点可以保存数据也可以不保存数据。
编码实现链表法：链表实现需要定义 2 个类，1 个是结点类，1 个是哈希类。
''' 结点类 ''' class HashNode(): def __init__(self, value): self.value = value self.next_node = None ''' 哈希类 ''' class HashTable(): def __init__(self): # 哈希表,初始大小为 15，可以根据需要动态修改 self.table = [None] * 15 # 实际数据大小 self.size = 0 ''' 存储数据 key:关键字 value:值 ''' def put(self, key, value): hash_val = self.hash_code(key) # 新结点 new_node = HashNode(value) if self.table[hash_val] is None: # 本代码采用首结点保存数据方案 self.table[hash_val] = new_node self.size+=1 else: move = self.table[hash_val] while move.next_node is not None: move = move.next_node move.next_node = new_node self.size+=1 ''' 查询数据 ''' def get(self, key): hash_val = self.hash_code(key) if self.table[hash_val] is None: # 数据不存在 return -1 if self.table[hash_val].value == key: # 首结点就是要找的数据 return self.table[hash_val].value # 移动指针 move = self.table[hash_val].next_node while move.value != key and move is not None: move = move.next_node if move is None: return -1 else: return move.value def hash_code(self, key): # 这里仅为说明问题，13 的选择是固定的 hash_val = key % 13 return hash_val # 原始数据 src_nums = [25, 78, 56, 32, 88, 26, 39, 82, 14] # 哈希对象 hash_table = HashTable() # 把数据添加到哈希表中 for n in src_nums: hash_table.put(n, n) # 输出哈希表中的首结点数据 for i in hash_table.table: if i is not None: print(i.value,end=" ") print("\n-------------查询-----------") print(hash_table.get(26)) ''' 输出结果： 78 14 56 32 88 25 -------------查询----------- 26 '''3.总结
哈希表是一种高级数据结构，其存储、查询性能非常好，在不考虑哈希哈希算法和哈希冲突的时间复杂度情况下，哈希查找时间复杂度可以达到常量级，成为很多实际应用场景下的首选。
研究哈希表，着重点就是搞清楚哈希算法以及如何解决哈希冲突。在算法的世界时，没有固定的模式，开发者可以根据自己的需要自行设计哈希算法。