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2、一个向量乘它的转置,其几何意义是什么?

来源:互联网 收集:自由互联 发布时间:2022-06-27
参考:https://www.zhihu.com/question/40049682/answer/1420483558 分两种情况: 一、 行 X 列 就是它长度的平方。 二、 列 X 行 通常对它进行一下处理(归一化 ): 对任意一个向量 b , 它投影到 a 上

参考:https://www.zhihu.com/question/40049682/answer/1420483558

分两种情况:

一、行 X 列

就是它长度的平方。

二、列 X 行

 通常对它进行一下处理(归一化):

 对任意一个向量  b , 它投影到  a  上的向量一定是:

 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

关于列 X 行 的投影的证明:

 

 

有两个向量 [公式] ,把 [公式][公式] 的投影记作 [公式]

这个过程显然是一个线性变换,那么我们把这个线性变换记作: [公式]

那么根据它的定义有:

 这里 [公式] 是标量。那么 [公式] 自然就表示在向量 [公式] 上的向量。

从三角形法则考虑

向量 [公式] 就可以看作 [公式] 的误差。

从几何关系上不难看出  [公式]    

 那么转化为数量关系就有

[公式]

再由标红的等量关系不难得出:

[公式]

注意这时向量都默认为列向量,所以标量可以直接写成:

[公式]

这时候我们再回过头来考虑线性变换

[公式]

这就是上面提到的投影矩阵的全部证明过程了。

 

 

 

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