2021-01-28 | 62. 不同路径

1. 题目描述

一个机器人位于一个 ​​m x n​​网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 ->

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• ​​1 <= m, n <= 100​​
• 题目数据保证答案小于等于​​2 * 10​​

2. 解题思路

这个题目和爬楼梯问题其实是一样的思路，只不过爬楼梯问题算是一维的问题，而这个问题是一个二维的问题。看到这个问题，我们自然而然的就能想到动态规划。

每一个网格的路径数都和其上侧和左侧的路径数相关，可以得出递推方程：

a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1]

首先初始化一个m * n 的二维数组，数组的所有节点值都先初始为0，由于最上边一行和最左边一列都是边界，只能有一种走法，所以初始为1。然后根据递推方程求解即可。

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(mn)，我们需要两层遍历，所以空间复杂度为O(mn)。
• 空间复杂度：O(mn)，我们需要一个m * n 的二维数组来存储所有状态，所以所需空间复杂度为O(mn)。

3. 代码实现

/**
* @param {number} m
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var uniquePaths = function(m, n) {
const dp = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0))

for(let i = 0; i < m; i++){
dp[i][0] = 1
}
for(let j = 0; j < n; j++){
dp[0][j] = 1
}

for(let i = 1; i < m; i++){
for(let j = 1; j < n; j++){
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
}
}
return dp[m - 1][n - 1]
};

4. 提交结果