统计学习——朴素贝叶斯法
1.朴素贝叶斯法介绍
朴素贝叶斯（naive Bayes)法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。对于给定的训练数据集，首先基于特征条件独立假设学习输入/输出的联合概率分布\(P(X,Y)\)；然后基于此模型，对给定的输入\(x\)，利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出\(y\)。朴素贝叶斯法实现简单，学习与预测的效率都很高，是一种常用的方法。
2.朴素贝叶斯法相关统计知识 贝叶斯法的思想可以概括为先验概率+输入数据=后验概率。下面就简单介绍后验概率公式的简单推导。
条件独立公式，如果\(x\)和\(y\)相互独立，则有:
条件概率公式：
\[P(Y|X) = \frac{P(X,Y)}{P(X)} \]\[P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)} \]也即：
\[P(Y|X) = \frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)} \]全概率公式:
\[P(X) = \sum_{k}P(X|Y=y_k)P(Y=y_k)其中\sum_k P(Y= y_K)=1 \]从上面公式很容易得出贝叶斯公式：
\[P(Y=y_k|X) = \frac{P(X|Y=y_k)P(Y=y_k)}{\sum\limits_k P(X|Y = y_k)P(Y=y_k)} \]3.朴素贝叶斯法的学习与分类 3.1基本模型设输入空间\(x \subseteq R^n\)，输出空间为类标记集合\(Y=\{c_1,c_2,···，c_k\}\)。\(P(X,Y)\)是\(X\)和\(Y\)的联合概率分布。训练数据集
\[T = \{(x_1,y_1),(x_2,y_2),···，(x_n,y_n)\} \] 由\(P(X,Y)\)独立同分布产生。
朴素贝叶斯学习\(P(X,Y)\)，具体地，学习一下先验概率分布及条件概率分布。先验概率分布
条件概率分布
\[P(X = x|Y =c_k) = P(X^{(1)}=x^{(1)},···,X^{(n)}=x^{(n)}| Y=c_k),k=1,2,···,K \tag{2} \] \((1)\times(2)\)，便可得到联合概率分布\(P(X,Y=c_k)\)。
从上面的式子可以看出\(P(Y=c_k)\)可以用极大似然估计求出，得到的\(P(Y=c_k)\)就是类别\(c_k\)在训练集里面出现的频数。但是\(P(X^{(1)}=x^{(1)},···,X^{(n)}=x^{(n)}| Y=c_k)\)是一个有n个维度的条件分布，是很难求出的，于是朴素贝叶斯法对条件概率分布作了条件独立性的假设，即\(X\)的n个维度之间相互独立，这样就可以得出：
从上式可以看出，这个很难的条件分布大大的简化了，但是这也可能带来预测的不准确性。你会说如果我的特征之间非常不独立怎么办？如果真是非常不独立的话，那就尽量不要使用朴素贝叶斯模型了，考虑使用其他的分类方法比较好。但是一般情况下，样本的特征之间独立这个条件的确是弱成立的，尤其是数据量非常大的时候。虽然我们牺牲了准确性，但是得到的好处是模型的条件分布的计算大大简化了，朴素贝叶斯法实际上学习到生成数据的机制，属于生成模型。
朴素贝叶斯分类时，对给定的输入x，通过学习到的模型计算后验概率分布\(P(Y=c_k|X=x)\)，将后验概率最大的类作为x的输出。后验概率计算根据贝叶斯定理：
将\((3)\)代入式\((4)\)有
\[P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(Y=c_k)\prod\limits_{i=1}^nP(X^{(i)} = x^{(i)}|Y=c_k)}{\sum\limits_kP(Y=c_k)\prod\limits_{i}^nP(X^{(i)} = x^{(i)}|Y=c_k)} \tag{5} \]注意到\((5)\)中所有分母对所有\(c_k\)都是相同的，所以比较时只要比较分子即可，于是朴素贝叶斯分类器可表示为
\[y=arg~\max_{c_k}P(Y = c_k)\prod_{i=1}^n P(X^{(i)} = x^{(i)}|Y=c_k)\tag{6} \]3.2朴素贝叶斯法的参数估计 对于\(P(Y=c_k)\)，我们采用极大似然估计，很容易得到\(P(Y=c_k)\)为样本类别\(c_k\)出现的频率，即样本类别\(c_k\)出现的次数\(m_k\)除以样本总数\(m\)。
设第\(j\)个特征\(X^{(j)}\)可能取值的集合为\(\{a_{j1},a_{j2},···,a_{js}\}\)，条件概率\(P(X^{(j)} = a_{jl}|Y=c_k)\)的极大似然估计是
下面给出朴素贝叶斯的学习与分类算法。
算法
输入：训练数据
其中\(x_i = (x_i^{(1)},x_i^{(2)},···,x_i^{(n)})\)，\(x_i^{(j)}\)是第\(i\)个样本的第\(j\)个特征；\(x_i^{(j)}\in\{a_{j1},a_{j2},···,a_{js}\}\)，\(a_{jl}\)是第\(j\)个特征可能取的第\(l\)个值，\(l = 1,2,···,s\)，\(y_i\in\{c_1,c_2,···，c_k\}\);
输出：实例\(x\)的分类。
(1) 计算先验概率及条件概率，某些时候，可能某些类别在样本中没有出现，会导致分子为0，这样会影响后验的估计，为了解决这种情况，我们引入拉普拉斯平滑(Laplace Smooth)
式中\(\lambda\geq0\)。等价于在随机变量各个取值的频数上赋予一个正数\(\lambda\)。当\(\lambda=0\)时，就是极大似然估计。常取\(\lambda = 1\)，这时称为拉普拉斯平滑。
(2) 对于给定的实例\(x=(x^{(1)},x^{(2)},···,x^{(n)})^T\)，计算
(3) 确定实例\(x\)的类
\[y= arg~\max_{c_k}~P(Y=c_k)\prod_{j=1}^nP(X^{(j)} = x^{(j)}|Y = c_k) \]例：试由表格中训练数据学习一个朴素贝叶斯分类器并确定\(x＝(2,S)^T\)的类标记\(y\)。表中\(X^{(1)}\)，\(X^{(2)}\)为特征，取值的集合分别为\(A_1＝\{1,2,3\}\)，\(A_2＝\{S,M,L\}\)，\(Y\)为类标记，\(Y\in C=\{1,-1\}\)。
解：根据算法，有表格，容易计算出下列概率：
对于给定的\(x=(2,S)^T\)，计算：
因为\(Y=-1\)的后验概率大，所以\(y=-1\)。
数据来源于sklearn.datasets中的load_iris()
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from collections import Counter
import math
# data
def create_data():
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
data = np.array(df.iloc[:100, :])
# print(data)
return data[:,:-1], data[:,-1]
X, y = create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3)
X_test[0], y_test[0]
(array([5.1, 3.8, 1.9, 0.4]), 0.0)#输入是一个4维向量，输出一个类别0或1
特征的可能性被假设为高斯
概率密度函数：
\[P(x_i | y_k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_{yk}}}exp(-\frac{(x_i-\mu_{yk})^2}{2\sigma^2_{yk}}) \]数学期望(mean)：\(\mu\)
方差：\(\sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N}\)
class NaiveBayes:
def __init__(self):
self.model = None
# 数学期望
@staticmethod
def mean(X):
return sum(X) / float(len(X))
# 标准差（方差）
def stdev(self, X):
avg = self.mean(X)
return math.sqrt(sum([pow(x - avg, 2) for x in X]) / float(len(X)))
# 概率密度函数
def gaussian_probability(self, x, mean, stdev):
exponent = math.exp(-(math.pow(x - mean, 2) /
(2 * math.pow(stdev, 2))))
return (1 / (math.sqrt(2 * math.pi) * stdev)) * exponent
# 处理X_train
def summarize(self, train_data):
summaries = [(self.mean(i), self.stdev(i)) for i in zip(*train_data)]
return summaries
# 分类别求出数学期望和标准差
def fit(self, X, y):
labels = list(set(y))
data = {label: [] for label in labels}
for f, label in zip(X, y):
data[label].append(f)
self.model = {
label: self.summarize(value)
for label, value in data.items()
}
return 'gaussianNB train done!'
# 计算概率
def calculate_probabilities(self, input_data):
# summaries:{0.0: [(5.0, 0.37),(3.42, 0.40)], 1.0: [(5.8, 0.449),(2.7, 0.27)]}
# input_data:[1.1, 2.2]
probabilities = {}
for label, value in self.model.items():
probabilities[label] = 1
for i in range(len(value)):
mean, stdev = value[i]
probabilities[label] *= self.gaussian_probability(
input_data[i], mean, stdev)
return probabilities
# 类别
def predict(self, X_test):
# {0.0: 2.9680340789325763e-27, 1.0: 3.5749783019849535e-26}
label = sorted(
self.calculate_probabilities(X_test).items(),
key=lambda x: x[-1])[-1][0]
return label
def score(self, X_test, y_test):
right = 0
for X, y in zip(X_test, y_test):
label = self.predict(X)
if label == y:
right += 1
return right / float(len(X_test))
运行：
model = NaiveBayes()
model.fit(X_train, y_train)#'gaussianNB train done!'
print(model.predict([4.4, 3.2, 1.3, 0.2]))#0.0
print(model.score(X_test, y_test))#1.0
朴素贝叶斯是一类比较简单的算法，scikit-learn中朴素贝叶斯类库的使用也比较简单。相对于决策树，KNN之类的算法，朴素贝叶斯需要关注的参数是比较少的，这样也比较容易掌握。在scikit-learn中，一共有3个朴素贝叶斯的分类算法类。分别是GaussianNB，MultinomialNB和BernoulliNB。其中GaussianNB就是先验为高斯分布的朴素贝叶斯，MultinomialNB就是先验为多项式分布的朴素贝叶斯，而BernoulliNB就是先验为伯努利分布的朴素贝叶斯。
这三个类适用的分类场景各不相同，一般来说，如果样本特征的分布大部分是连续值，使用GaussianNB会比较好。如果如果样本特征的分大部分是多元离散值，使用MultinomialNB比较合适。而如果样本特征是二元离散值或者很稀疏的多元离散值，应该使用BernoulliNB。
4.2.1GaussianNB类特征的可能性被假设为高斯
概率密度函数：
\[P(x_i | y_k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_{yk}}}exp(-\frac{(x_i-\mu_{yk})^2}{2\sigma^2_{yk}}) \]数学期望(mean)：\(\mu\)
方差：\(\sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N}\)
GaussianNB会根据训练集求出\(\mu_{yk}\)和\(\sigma^2_{yk}\)。
GaussianNB类的主要参数仅有一个，即先验概率priors ，对应Y的各个类别的先验概率\(P(Y=C_k)\)。这个值默认不给出，如果不给出此时\(P(Y=C_k)=m_k/m\)。其中\(m\)为训练集样本总数量，\(m_k\)为输出为第k类别的训练集样本数。如果给出的话就以priors 为准。
在使用GaussianNB的fit方法拟合数据后，我们可以进行预测。此时预测有三种方法，包括predict，predict_log_proba和predict_proba。
predict方法就是我们最常用的预测方法，直接给出测试集的预测类别输出。
predict_proba则不同，它会给出测试集样本在各个类别上预测的概率。
predict_log_proba和predict_proba类似，它会给出测试集样本在各个类别上预测的概率的一个对数转化。转化后predict_log_proba预测出的各个类别对数概率里的最大值对应的类别，也就是predict方法得到类别。
#"上面手动模拟的GS现用sklearn库实现
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
clf = GaussianNB()
clf.fit (X_train,y_train)
print(clf.score(X_test,y_test))
print(clf.predict([[4.4,3.2,1.3,0.2]]))
MultinomialNB假设特征的先验概率为多项式分布，即：
\[P(X_j=x_{jl}|Y = C_k)=\frac{x_{jl}+\lambda}{m_k+n\lambda} \] 其中，\(P(X_j=x_{jl}|Y = C_k)\)是第\(k\)个类别的第\(j\)维特征的第\(l\)个取值的条件概率。\(m_k\)是训练集中输出为第\(k\)类的样本个数。\(\lambda=1\)，即拉普拉斯平滑。
MultinomialNB参数比GaussianNB多，但是一共也只有3个。其中，参数alpha即为上面的常数\(\lambda\)，如果没有特别的需要，用默认的1即可。如果发现拟合的不好，需要调优时，可以选择稍大于1或者稍小于1的数。布尔参数fit_prior表示是否要考虑先验概率，如果是false,则所有的样本类别输出都有相同的类别先验概率。否则可以自己用第三个参数class_prior输入先验概率，或者不输入第三个参数class_prior让MultinomialNB自己从训练集样本来计算先验概率，此时的先验概率为\(P(Y=C_k)=m_k/m\)。其中\(m\)为训练集样本总数量，\(m_k\)为输出为第\(k\)类别的训练集样本数。总结如下：
在使用MultinomialNB的fit方法拟合数据后，我们可以进行预测。此时预测有三种方法，包括predict，predict_log_proba和predict_proba。方法和GaussianNB完全一样。
4.2.3BernoulliNB类BernoulliNB假设特征的先验概率为二元伯努利分布，即：
\[P(X_j=x_{jl}|Y=C_k)=P(j|Y=C_k)x_{jl}+(1−P(j|Y=C_k)(1−x_{jl}) \]此时\(l\)只有两种取值。\(x_{jl}\)只能取值\(0\)或者\(1\)。
BernoulliNB一共有4个参数，其中3个参数的名字和意义和MultinomialNB完全相同。唯一增加的一个参数是binarize。这个参数主要是用来帮BernoulliNB处理二项分布的，可以是数值或者不输入。如果不输入，则BernoulliNB认为每个数据特征都已经是二元的。否则的话，小于binarize的会归为一类，大于binarize的会归为另外一类。
在使用BernoulliNB的fit拟合数据后，我们
可以进行预测。此时预测有三种方法，包括predict，predict_log_proba和predict_proba。由于方法和GaussianNB完全一样。
朴素贝叶斯的主要优点有：
1）朴素贝叶斯模型发源于古典数学理论，有稳定的分类效率。
2）对小规模的数据表现很好，能个处理多分类任务，适合增量式训练，尤其是数据量超出内存时，我们可以一批批的去增量训练。
3）对缺失数据不太敏感，算法也比较简单，常用于文本分类。
朴素贝叶斯的主要缺点有：
1） 理论上，朴素贝叶斯模型与其他分类方法相比具有最小的误差率。但是实际上并非总是如此，这是因为朴素贝叶斯模型给定输出类别的情况下,假设属性之间相互独立，这个假设在实际应用中往往是不成立的，在属性个数比较多或者属性之间相关性较大时，分类效果不好。而在属性相关性较小时，朴素贝叶斯性能最为良好。对于这一点，有半朴素贝叶斯之类的算法通过考虑部分关联性适度改进。
2）需要知道先验概率，且先验概率很多时候取决于假设，假设的模型可以有很多种，因此在某些时候会由于假设的先验模型的原因导致预测效果不佳。
3）由于我们是通过先验和数据来决定后验的概率从而决定分类，所以分类决策存在一定的错误率。
4）对输入数据的表达形式很敏感。
6.参考文献1.刘建平机器学习
2.李航《统计学习方法》