Java动态规划之丑数问题实例讲解

问题描述：

我们把只包含质因子 2、3 和 5 的数称作丑数（Ugly Number）。求按从小到大的顺序的第 n 个丑数。

注： 1也是丑数

思路：

我们来分析一下丑数如何得到，肯定是由前面的丑数乘2，乘3或者乘5得到，因此这是一道动态规划题。

1. 使用 dp[i] 记录第i个丑数， 初始值dp[0] = 1，返回 dp[n-1]
2. 使用 a，b，c 记录以及 2，3，5 分别乘到了第几个丑数
3. 动态规划方程为：

dp[i] = Math.min(Math.min(dp[a]*2, dp[b]*3), dp[c]*5);

如何更新a，b，c：

• 若当前丑数（上述最小值）为dp[a]*2，则 a++
• 若当前丑数（上述最小值）为dp[b]*3，则 b++
• 若当前丑数（上述最小值）为dp[c]*5，则 c++

图解：

代码：

class Solution {
    public int nthUglyNumber(int n) {
        int a=0, b=0, c=0;
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        for(int i=1; i<n; i++){
            int n1 = dp[a]*2;
            int n2 = dp[b]*3;
            int n3 = dp[c]*5;
            dp[i] = Math.min(Math.min(n1, n2), n3);
            if(dp[i] == n1){ a++; }
            if(dp[i] == n2){ b++; }
            if(dp[i] == n3){ c++; }
        }
        return dp[n-1];
    }
}

变式题

题目描述：

有些数的素因子只有 3，5，7，请设计一个算法找出第 k 个数。注意，不是必须有这些素因子，而是必须不包含其他的素因子。例如，前几个数按顺序应该是 1，3，5，7，9，15，21。

思路

本题和前面的题一样，只要把 2，3，5 改成 3，5，7即可 代码

class Solution {
    public int getKthMagicNumber(int k) {
        int a=0, b=0, c=0;
        int[] dp = new int[k];
        dp[0] = 1;
        for(int i=1; i<k; i++){
            int n1 = dp[a]*3;
            int n2 = dp[b]*5;
            int n3 = dp[c]*7;
            dp[i] = Math.min(Math.min(n1, n2), n3);
            if(dp[i] == n1){ a++; }
            if(dp[i] == n2){ b++; }
            if(dp[i] == n3){ c++; }
        }
        return dp[k-1];
    }
}

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