算法复杂度入门

几种常见时间复杂度实例分析

只要讲到数据结构与算法，就一定离不开时间、空间复杂度分析。而且，我个人认为，复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

复杂度分析这个东西关键在于“熟练”。你只要多看案例，多分析，就能做到“无招胜有招”。这里分享几种常见时间复杂度实例分析。

虽然代码千差万别，但是常见的复杂度量级并不多。我稍微总结了一下，这些复杂度量级几乎涵盖了你今后可以接触的所有代码的复杂度量级。

对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2^n)和O(n!)。

我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作NP（Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式）问题。

当数据规模n越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，关于NP时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。

O(1)

首先你必须明确一个概念，O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有3行，它的时间复杂度记为也是O(1），而不是O(3)。

int i = 8;int j = 6;int sum = i + j;

我稍微总结一下，只要代码的执行时间不随n的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。

i=1;while (i <= n) { i = i * 2;}

根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。

从代码中可以看出，变量i的值从1开始取，每循环一次就乘以2。当大于n时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量i的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

2^0 2^1 2^2 … 2^k … 2^x=n

所以，我们只要知道x值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过2^x=n求解x这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。x=log2n（以2为底，n的对数）所以，这段代码的时间复杂度就是O(log2n)。

现在，我把代码稍微改下，你再看看，这段代码的时间复杂度是多少？

i=1;while (i <= n) { i = i * 3;}

根据我刚刚讲的思路，很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为O(log3n)。

实际上，不管是以2为底、以3为底，还是以10为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为O(logn)。为什么呢？

我们知道，对数之间是可以互相转换的，log3(n)就等于log3(2) * log2(n)，所以O(log3(n)) = O(C * log2(n))，其中C=log3(2)是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大O标记复杂度的时候，可以忽略系数，即O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2(n)) 就等于O(log3(n))。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为O(logn)。

如果你理解了我前面讲的O(logn)，那O(nlogn)就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是O(logn)，我们循环执行n遍，时间复杂度就是O(nlogn)了。而且，O(nlogn)也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是O(nlogn)。

O(m+n)、O(m*n)

我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。老规矩，先看代码！

int cal(int m, int n) { int sum_1 = 0; int i = 1; for (; i < m; ++i) { sum_1 = sum_1 + i; } int sum_2 = 0; int j = 1; for (; j < n; ++j) { sum_2 = sum_2 + j; } return sum_1 + sum_2;}

从代码中可以看出，m和n是表示两个数据规模。我们无法事先评估m和n谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是O(m+n)。

针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)，几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个。