AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树

题目

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|，m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n−1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。

输入格式 第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式 共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围 $1≤n≤10^5,1≤m≤2∗10^5$，图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $1000$。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

思路

kruscal基本思路

1. 将所有边按权重递增排序 O(mlogm)
2. 枚举每条边a、b、c   O(m)
    if a、b不连通，说明需要两点连接边以便实现最小树(使用并查集数据结构)
        将这条边加入集合中

代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 2 * N;

struct Edge
{
    int a, b, w;
    
}edges[M];

int n, m;
int p[N];

// 相当于重载<运算符
bool opt(struct Edge A, struct Edge B)
{
    return A.w < B.w;
}

int find(int x)
{
    if (x != p[x]) p[x] = find(p[x]);
    
    return p[x];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }
    
    // 从小到大排序
    sort(edges, edges + m, opt);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;
    
    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }
    
    // 满足条件要cnt == n - 1，n个点对应n - 1条边
    if (cnt < n - 1) puts("impossible");
    else printf("%d\n", res);
    
    return 0;
}