均值不等式，同称平均值不等式，也可称为基本不等式。其内容为：
\[H_n\leqslant G_n\leqslant A_n\leqslant Q_n \]即 调和平均数 \(\leqslant\) 几何平均数 \(\leqslant\) 算术平均数 \(\leqslant\) 平方平均数 。
具体一点上面式子中的每个字母的具体意义如下：
\[\\H_n=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}=\frac{1}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+...+\frac{1}{x_n}} \\G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \\A_n=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \\Q_n=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...x_n^2}{n}} \]证明 从简单点开始：二次 预备定理可以通过弦图或是代数证明：
\[(a-b)^2\geqslant0\\ a^2-2ab+b^2\geqslant0\\ a^2+b^2\geqslant2ab \]证明1：算术平均数大于等于几何平均数令 x 等于 \(a^2\)，y 等于 \(b^2\)，根据预备定理，那么有：\(x+y\geqslant 2\sqrt{xy}\)
即：\(\frac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}\) ，记为结论1.
证明2：几何平均数大于等于调和平均数有式子 \(\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\) （即为调和平均数） ， 上下同时乘以 \(xy\) ，式子值不变，变为 \(\frac{2xy}{x+y}\) 。
由结论1得：\(\frac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}\) ，
右式转化可得：\(\sqrt{xy}=\frac{2xy}{2\sqrt{xy}}\le \frac{x+y}{2}\) ，其值不变。
又因为： \(x+y\ge 2\sqrt{xy}\) ，两个式子的分母为 \(x+y\) 和 \(2\sqrt{xy}\)
所以在分母上，前者大于等于后者，而分子相同，所以在数值上，有\(\frac{2xy}{x+y}\le \frac{2xy}{2\sqrt{xy}}\)
那么，可得 \(\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \le \sqrt{xy}\)
证明3： 平方平均数大于等于算术平均数若：\(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge \frac{x+y}{2}\) ，那么应有：\(\frac{x^2+y^2}{2} \ge \frac{(x+y)^2}{4}\)
通分得：$ x2+y2\ge(x+y)^2/2$
拆项得：\(x^2+y^2\ge \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+xy\)
整理，可得: \(x^2+y^2\ge 2xy\)
同预备定理，故成立。
进阶：三次 算数平均数大于几何平均数三次项下的算数平均数为 \(\frac{a+b+c}{3}\) ,几何平均数为 \(\sqrt[3]{abc}\) ，试证明：\(\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}\)
若：\(x^3+y^3+z^3-3xyz \ge 0\) ，那么：
将上式因式分解得：
\[=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz\\ =(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)\\ =((x+y)+z)^3-3(x+y)z((x+y)+z)-3xy(x+y+z)\\ =(x+y+z)^3((x+y+z)^2-3(x+y)z-3xy)\\ =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz-3xy-3xz-3yz)\\ =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\\ =\frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2) \]由于：均值不等式的讨论范围在于全体正数，所以前面的因式大于零，而后面的因式必大于等于零，故整个式子大于等于零，反证成立。
因此：\(x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0\) 是正确的。
那么，令 \(a=x^3,b=y^3,c=z^3\)，可以转化为:
\(a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\ge0\) , 即\(\frac{a+b+c}{n}\ge\sqrt[3]{abc}\)
故命题成立。
其他另外几个就留给大家做练习吧，我就不打扰了（其实就是不会证明）。
均值不等式的应用有了均值不等式，我们可以把很多的运算给简化一下，请看以下例题：
例题1若 \(x>0\) ，那么 \(x+\frac{1}{x}\) 的最小值为？
学了均值不等式，我们就要试着把这个东西往均值不等式靠近，至于为什么，可能是因为这篇博客是讲均值不等式的吧（划掉）。
我们可以知道 ：\(x+\frac{1}{x} \ge 2*\sqrt{x*\frac{1}{x}}=2\)
并且：取等号的条件是 \(x=\frac{1}{x}\) ，由判别式得该方程有解且 \(x\) 可以取到正数 1 ，因此这个函数的最小值为 2 。
例题2若 \(0<x<1\) ,请问 \(x(1-x)\) 的最大值为？
同样的，我们知道 \(x(1-x)\le (\frac{x+1-x}{2})^2=\frac{1}{4}\)
且当\(x=1-x\)取等号时，方程有正数解 \(x=\frac{1}{2}\) ，故成立，该函数最小值为 \(\frac{1}{4}\) .