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均值不等式详解+证明+例题

来源:互联网 收集:自由互联 发布时间:2022-05-30
均值不等式定义 均值不等式 ,同称 平均值不等式 ,也可称为基本不等式。其内容为: \[H_n\leqslant G_n\leqslant A_n\leqslant Q_n\] 即 调和平均数 \(\leqslant\) 几何平均数 \(\leqslant\) 算术平均数
均值不等式 定义

均值不等式,同称平均值不等式,也可称为基本不等式。其内容为:

\[H_n\leqslant G_n\leqslant A_n\leqslant Q_n \]

调和平均数 \(\leqslant\) 几何平均数 \(\leqslant\) 算术平均数 \(\leqslant\) 平方平均数

具体一点

上面式子中的每个字母的具体意义如下:

\[\\H_n=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}=\frac{1}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+...+\frac{1}{x_n}} \\G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \\A_n=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \\Q_n=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...x_n^2}{n}} \]

证明 从简单点开始:二次 预备定理

可以通过弦图或是代数证明:

\[(a-b)^2\geqslant0\\ a^2-2ab+b^2\geqslant0\\ a^2+b^2\geqslant2ab \]

证明1:算术平均数大于等于几何平均数

令 x 等于 \(a^2\),y 等于 \(b^2\),根据预备定理,那么有:\(x+y\geqslant 2\sqrt{xy}\)

即:\(\frac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}\) ,记为结论1.

证明2:几何平均数大于等于调和平均数

有式子 \(\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\) (即为调和平均数) , 上下同时乘以 \(xy\) ,式子值不变,变为 \(\frac{2xy}{x+y}\)

由结论1得:\(\frac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}\)

右式转化可得:\(\sqrt{xy}=\frac{2xy}{2\sqrt{xy}}\le \frac{x+y}{2}\) ,其值不变。

又因为: \(x+y\ge 2\sqrt{xy}\) ,两个式子的分母为 \(x+y\)\(2\sqrt{xy}\)

所以在分母上,前者大于等于后者,而分子相同,所以在数值上,有\(\frac{2xy}{x+y}\le \frac{2xy}{2\sqrt{xy}}\)

那么,可得 \(\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \le \sqrt{xy}\)

证明3: 平方平均数大于等于算术平均数

若:\(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge \frac{x+y}{2}\) ,那么应有:\(\frac{x^2+y^2}{2} \ge \frac{(x+y)^2}{4}\)

通分得:$ x2+y2\ge(x+y)^2/2$

拆项得:\(x^2+y^2\ge \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+xy\)

整理,可得: \(x^2+y^2\ge 2xy\)

同预备定理,故成立。

进阶:三次 算数平均数大于几何平均数

三次项下的算数平均数为 \(\frac{a+b+c}{3}\) ,几何平均数为 \(\sqrt[3]{abc}\) ,试证明:\(\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}\)

若:\(x^3+y^3+z^3-3xyz \ge 0\) ,那么:

将上式因式分解得:

\[=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz\\ =(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)\\ =((x+y)+z)^3-3(x+y)z((x+y)+z)-3xy(x+y+z)\\ =(x+y+z)^3((x+y+z)^2-3(x+y)z-3xy)\\ =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz-3xy-3xz-3yz)\\ =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\\ =\frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2) \]

由于:均值不等式的讨论范围在于全体正数,所以前面的因式大于零,而后面的因式必大于等于零,故整个式子大于等于零,反证成立。

因此:\(x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0\) 是正确的。

那么,令 \(a=x^3,b=y^3,c=z^3\),可以转化为:

\(a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\ge0\) , 即\(\frac{a+b+c}{n}\ge\sqrt[3]{abc}\)

故命题成立。

其他

另外几个就留给大家做练习吧,我就不打扰了(其实就是不会证明)。

均值不等式的应用

有了均值不等式,我们可以把很多的运算给简化一下,请看以下例题:

例题1

\(x>0\) ,那么 \(x+\frac{1}{x}\) 的最小值为?

学了均值不等式,我们就要试着把这个东西往均值不等式靠近,至于为什么,可能是因为这篇博客是讲均值不等式的吧(划掉)。

我们可以知道 :\(x+\frac{1}{x} \ge 2*\sqrt{x*\frac{1}{x}}=2\)

并且:取等号的条件是 \(x=\frac{1}{x}\) ,由判别式得该方程有解且 \(x\) 可以取到正数 1 ,因此这个函数的最小值为 2 。

例题2

\(0<x<1\) ,请问 \(x(1-x)\) 的最大值为?

同样的,我们知道 \(x(1-x)\le (\frac{x+1-x}{2})^2=\frac{1}{4}\)

且当\(x=1-x\)取等号时,方程有正数解 \(x=\frac{1}{2}\) ,故成立,该函数最小值为 \(\frac{1}{4}\) .

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