文本记录阅读该论文的笔记。
这是文章框架，来自视频。
本文主要解决恶意攻击下安全的多方PSI，主要用到两大技术OPPRF和OKVS，构造合谋和不合谋的协议。
基础知识 OPPRFPRF这部分在OPRF中有介绍：OPRF
伪随机函数，产生的结果类似于伪随机数。
不经意的伪随机函数，在两方情况下，\(P_2\)对于\(P_1\)的输出结果是不知道的，\(P_1\)也不知道\(P_2\)的密钥\(k\)。
可以根据OPRF构造一个简单的两方PSI协议：
（1）\(P_2\)将\(F_k(x)\)发送给\(P_1\);
（2）\(P_1\)将发送来的\(F_k(x)\)和自己的\(F_k(y)\)对比是否一样，如果一样，则说明\(y\)属于交集。
可编程的伪随机函数，即将一组点集\((x,y)\)编码到PRF中，输入\(x\)，可以得到对应的\(y\)。
不经意可编程的伪随机函数，在两方情况下，\(P_2\)这边有一组点集\((a,b)\)，\(P_1\)输入\(x\)，如果\(x\)在\(a\)中，则返回对应的\(y\)，否则返回一个伪随机数。其中\(P_2\)不知道\(P_1\)的输入和输出，\(P_1\)也不知道\(P_2\)的密钥\(k\)。
这里的\(hint\)可以看作是一个和输入有关系的随机数，在以多项式插值实现的方法中：\(P_2\)将这一组点集插入到一个多项式中\(f(.)\)，同时使用\(hint\)去“混淆”该多项式（比如，移动等），然后将混淆后的多项式\(f'(.)\)发给\(P_1\)，进而获得\(f'(x)\)。
OKVS KVS
键值对存储，可以看成一个数据结构，提供两个算法：
（1）Encode
能将一组数据\((k,v)\)编码到一个对\(S\)象中，以可忽略的概率会出错。
（2）Decode
可以根据\(x\)和对象\(S\)，如果\((x,y)\)在对象\(S\)中的话，则输出对应的\(y\)，否则输出一个随机值。
如果是将一组点\((x,y)\)编码到一个多项式\(f(.)\)，那么多项式的系数就是\(S\)，可以根据\(S\)和\(s\)，得到\(f(x)\)。
当然实现不会这么简单～
不经意的键值对存储。对于敌手而言，输出的\(y\)值是不可区分的。
所以主要还是以OKVS为主设计协议。
在“Practical multi-party private set intersection from symmetric-key techniques”中也用到过。
即，能让同一个键对应的值的异或和为0
即，需要输出的是满足条件的键。
（1）A拥有密钥\(k\)，将\(k\)发送给\(B\)，\(B\)得到\(PRF_k(y_i)\)，\(A\)自己计算出\(PRF_k(x_i)\)。
此时三方的数据为：A有\((x_i,PRF_k(x_i))\)，B有\((y_i,PRF_k(y_i))\)，\(C\)有\((z_i)\)
（2）\(A\)将自己的数据通过OKVS编码为对象\(OKVS(x_i,PRF_k(x_i))\)，发送给C，如果\(z_i=x_i\)，则\(C\)获得对应的\(PRF_k(x_i))\)，否则获得随机数（\(C\)本身是不知道的）
（3）然后将\(A\)看作是云，\(B\)和\(C\)将各自结果发给\(A\)去比较，如果相同，则表示\(x_i=y_i=z_i\)，属于交集，否则不属于交集。
注意：不能直接将\(B\)的结果发送给\(C\)，因为\(C\)方是有对象\(OKVS(x_i,PRF_k(x_i))\)，可以无限次数查询，可以“试出”\(B\)的\(y_i\)。
也不能直接将\(C\)的结果发送给\(B\)，因为\(B\)方有密钥\(k\)。【大胆一点想，如果A和B之间如果使用OPRF的话，那B就不知道密钥了】
该方案不能防止恶意攻击：
第一种情况：\(A\)恶意编码错误
即如果\(A\)估计在OKVS时故意编码错误，就会导致PSI出现错误！
解决办法：
（1）\(B\)的数据\(PRF_k(y_i)\)拼接上自己的值\(y_i\)；\(C\)的数据\(Decode(z_i)\)拼接上自己的值\(z_i\)
这样就能防止恶意的\(A\)搞破坏了！
第二种情况：在比较\(B\)和\(C\)的结果时，\(A\)恶意返回部分部分交集（1）或者恶意返回全集（2）
解决办法：
（1）就是\(B\)和\(C\)将其结果拷贝\(\lambda\)份并串接，发送给\(A\)，如果\(A\)搞破坏，返回部分交集，则\(B\)和\(C\)就知道有问题。【大胆一点，直接将拷贝\(\lambda\)份发过去，判断返回结果是不是\(\lambda\)个交集，是不是也能判断！】
（2）\(B\)和\(C\)事先协商出\(D_0,D_1,d_2\)，这样\(A'\)和\(A^2\)肯定有交集，但又不是全集。
最后对返回结果判断：
这里在各方都有了\(PRF\)后，需要逐个迭代：\(B\)和\(C_1\)的数据在\(A\)（云端）对比，将其结果与\(C_2\)的数据在\(A\)（云端）对比，直到全部比较完，得到最中的交集元素，如果中间就“断掉”了，说明该元素肯定不是所有方的交集元素。
该方案因为需要迭代逐个对比，所以复杂度很高
下面改进，降低复杂度：
（1）\(P_1\)分别给\(P_2,...,P_{n-2}\)发送密钥\(k2,...,k_{n-2}\)，\(P_2,...,P_{n-2}\)分别得到\(PRF_{k_2}(y_2),...,PRF_{k_{n-2}}(y_{n-2})\)，\(P_1\)也会计算出\(PRF_{k_2}(x),...,PRF_{k_{n-2}}(x)\)。
（2）\(P_1\)将自己的数据\(PRF_{k_2}(x),...,PRF_{k_{n-2}}(x)\)异或得到\(PRF_{k_2}(x)\bigoplus...\bigoplus PRF_{k_{n-2}}(x)=PRF\)，然后将其进行OKVS编码得到\(F=OKVS(x,PRF)\)，发送给\(P_n\)
【这里是先异或起来，再执行OKVS；还是先OKVS，再异或起来？】
（3）\(P_n\)根据自己的值\(z\)，去解码得到\(F(z)\)，若\(x=z\)，则\(F(z)=PRF_{k_2}(x)\bigoplus...\bigoplus PRF_{k_{n-2}}(x)\)，否则，就是一个不可区分的随机数。
（4）\(P_2,...,P_{n-2}\)分别将自己的数据\(PRF_{k_2}(y_2),...,PRF_{k_{n-2}}(y_{n-2})\)进行OKVS编码为\(F_2',...,F_{n-2}'\)，再将其异或\(F_2'\bigoplus ...\bigoplus F_{n-2}'=F'\)，发送给\(P_{n-1}\)。
（5）\(P_{n-1}\)使用自己的值\(y_{n-1}\)进行解码，得到\(F'(y_{n-1})\)，若\(y_{n-1}=y_{2}=...=y_{n-2}\)，则\(F'(y_{n-1})=PRF_{k_2}(y_2)\bigoplus...\bigoplus PRF_{k_{n-2}}(y_{n-2})\)，否则，就是一个不可区分的随机数。
（6）\(P_n\)和\(P_{n-1}\)将各自结果发给\(P_1\)去比较，如果相同，则表示\(y_{n-1}=y_{2}=...=y_{n-2}=z=x\)，属于交集，否则不属于交集。
合谋以上协议，不抗合谋攻击，并且\(P_1\)拥有全部的密钥\(k_i\)，很不安全。
这里共有\(n\)个参与房，\(t\)个合谋方，且满足\(v=n-t\)
（1）\(P_1,...,P_{v-1}\)方每个都为\(P_{v+1},...,P_{n}\)生成密钥\((k_{1,v+1},...,k_{1,n}),...,(k_{v-1,v+1},...,k_{v-1,n})\)，并发送出去。
（2）\(P_1,...,P_{v-1}\)方计算出\((PRF(x_1,k_{1,v+1}),...,PRF(x_1,k_{1,n})),...,(PRF(x_{v-1},k_{v-1,v+1}),...,PRF(x_{v-1},k_{v-1,n}))\)；\(P_{v+1},...,P_{n}\)方各自计算出\((PRF(x_{v+1},k_{1,v+1}),...,PRF(x_{v+1},k_{v-1,v+1})),...,(PRF(x_{n},k_{1,n}),...,PRF(x_{n},k_{v-1,n}))\)，然后每方将自己的数据异或得到\((x_{v+1},PRF(x_{v+1},k_{1,v+1})\bigoplus...\bigoplus PRF(x_{v+1},k_{v-1,v+1})),...,(x_{n},(PRF(x_{n},k_{1,n})\bigoplus...\bigoplus PRF(x_{n},k_{v-1,n}))\)，然后将所有的PRF值异或\(PRF(x_{v+1},k_{1,v+1})\bigoplus...\bigoplus PRF(x_{v+1},k_{v-1,v+1})\bigoplus...\bigoplus PRF(x_{n},k_{1,n})\bigoplus...\bigoplus PRF(x_{n},k_{v-1,n})\)
（3）\(P_1,...,P_{v-1}\)方先将自己的数据异或\((x_{1},PRF(x_1,k_{1,v+1})\bigoplus...\bigoplus PRF(x_{1},k_{1,n})),...,(x_{v-1},PRF(x_{v-1},k_{v-1,v+1})\bigoplus...\bigoplus PRF(x_{v-1},k_{v-1,n}))\)，再使用OKVS将自己异或后的数据编码\(F_1,...,F_{v-1}\)，发送给\(P_v\)方
（4）\(P_v\)方用自己的数据\(x_v\)解码得到\(F_1(x_v),...,F_{v-1}(x_v)\)，然后再异或起来得到\((x_v,F_1(x_v)\bigoplus...\bigoplus F_{v-1}(x_v))\),如果\(x_v=x_1=...=x_{v-1}\)，则\((F_1(x_v)\bigoplus...\bigoplus F_{v-1}(x_v))=PRF(x_1,k_{1,v+1})\bigoplus...\bigoplus PRF(x_{1},k_{1,n})\bigoplus...\bigoplus PRF(x_{v-1},k_{v-1,v+1})\bigoplus...\bigoplus PRF(x_{v-1},k_{v-1,n})\)
（5）\(P_v\)和\(P_{v+1},...,P_{n}\)将各自结果发给\(P_1\)去比较，如果相同，则表示\(x_1=...=x_{v-1}=x_v=x_{v+1}=...x_n\)，属于交集，否则不属于交集。
上面需要满足一个条件：
最后的结果异或起来为0。
加入Zero-XOR，和Zero- Sharing技术。
各方数据为X_i=\((x_i,y_i)\)：
（1）\(P_i\)方使用Zero- Sharing，对于每一个数据（键）\(x_i\)，生成对应的零分享值\(s_i\)
（2）\(P_1,...,P_{n-1}\)方和\(P_n\)之间使用OPPRF：\(P_i\)方作为发送者，将零分享值与本身值异或，得到\((x_i,s_i\bigoplus y_i)\)；\(P_n\)作为接收者，输入\(x_n\)，若\((x_j,s_i\bigoplus y_i)\in X_i\),得到\(z_j=s_i\bigoplus y_i\)，否则，得到一个伪随机数
（3）\(P_n\)输出\((x_n,z_n=\bigoplus_{j\in [n-1]}z_j)\)
总结 推荐参考（1）知乎的解读：Simple, Fast Malicious Multiparty Private Set Intersection
（2）B站上一位同学的组会视频：https://www.bilibili.com/video/BV1DL411w7Zk/
（3）叮！多方隐私集合求交发来“会议邀请”