[数据结构]复杂度分析

一 为什么需要复杂度分析

测试结果非常的依赖测试环境

在不同的硬件环境，测试同样一份代码其效果是不一样的。那么复杂度分析具有成本低，效率高的特点。

测试结果收到数据规模的影响很大

比如排序算法，对待排序的有序度不一样，排序的执行时间就很不一样。如果测试数据规模很小，测试结果也无法真实反应算法的性能。比如对于小规模的数据排序，插入排序可能比快排更快。

二. 大0复杂度表示法

算法的执行效率一般来说就是算法代码执行的时间。那么如何得到代码的执行时间？先列出代码
假设每行代码执行时间一样。

int calc(int n)
{
int sum=0;//执行一个time
int i=1;//执行一个time
int j=1;//执行一个time
//循环了n遍 所以是2n*time
//从此整个时间T(n) = (2n2+2n+3)*time
for(;i<=n;++i)
{
j=1;
for(;j<=n;j++)
{
sum=sum+i*j
}
}
}

从这里出现一个重要的规律就是所有代码的执行时间T(n)和每行代码的执行此时n成正比Tn=O(f(n))。上面出现T(n)=2n²+2n+3,我们只需要记录一个最大量级就行。比如T(n)=O(n²).

三. 时间复杂度分析三方法

只关注循环次数最多的一段代码

    大O表示法，是表示一种变化的趋势。我们只需要关心一个最大阶的量级。比如下面这个代码

int calc(int n)
{
int sum=0;
int i=0;
for(;i<=n;++i)
{
sum=sum+i;
}
return sum;
}

    这里直接查看for部分代码，这两行代码被执行了n次，所以总的时间复杂度为O(n)

加法法则 总的复杂度等于量级最大的那段代码

int calc(int n)
{
int sum=0;//执行一个time
int i=1;//执行一个time
int j=1;//执行一个time

int p = 0;
for(int p=0;p<n;p++)
{
sum=sum+p;
}
sum=0;
//循环了n遍 所以是2n*time
//从此整个时间T(n) = (2n2+2n+3)*time
for(;i<=n;++i)
{
j=1;
for(;j<=n;j++)
{
sum=sum+i*j
}
}
}

    这段代码中第一个循环p循环n次，不管这个n是100,1000等，都是产量级的时间。同理第二个第二段循环代码为O(n²),所以最终结果是O(n²)

乘法法则 嵌套代码复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

    假设T1(n)=O(n),T2(n)=O(n),那么T(n)=T1(n)*T2(n)=O(n²)

四 几种常见的时间复杂度分析

常见复杂度有哪些

0(1)

int i=2;
int j=3;
int sum=i+j;

一般来说如果代码的执行时间不随着n的增大而增长，那么就是O（1）。小技巧就是程序中没有循环，递归等

O(logn)和O(nlogn)

int i=1;
while(i<=n)
{
i=i*2;
}

这里的i从1开始每次循环乘以2直到i小于了n结束。也就是2⁰,2¹.....2^x,那么2^x=n,x=log2n.这个时候如果i=i\*4,那就是x=log₄n,那么log₄n实际上等于log₄2\*log₂n,所以呢O(log₄n)=O(C*log₂n).之前说过我们的这个C常量，可以忽略。所以O(log4n)=O(log2n).在对数阶时间复杂度表示中，忽略对数的

4 O(m+n)和O(m*n)

int cal(int m, int n)
{
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i)
{
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j)
{
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2; }
}

这里的m和n那个量级大不好预判

五. 面试中常见算法的复杂度

排序相关

二叉树相关

六 总结

学习复杂度分析有利于我们编写更加优秀的代码。

复杂度分析的要点

(1) 单段代码看高频。比如看循环
(2) 多段代码取最大。比如既有单层循环也有多层循环，取高层
(3) 嵌套代码求乘积。比如递归

常用的复杂度

(1) 多项式阶
    O(1)常数阶 O（logn）对数阶 O(n)线性阶 o(n²)平方阶
(2) 非多项式
    指数阶 阶乘阶