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本文基于阈值加法同态加密方案提出了一个新的允许\(N\)方检查其输入集的交集是否大于\(n-t\)的PSI方案，该协议的通信复杂度为\(O(Nt^2)\)。
注意：\(N\)指的是多少个参与方、\(n\)是输入集的大小、\(t\)是预先设定的阈值，也是阈值。
该方案基于The Communication Complexity of Threshold Private Set Intersection-2019：解读进行的改进。
该协议可以用于各方知道交集很大，但不知道具体多大时，可以使用！
（1）该协议的通信复杂度不依赖于输入集的大小，而取决于阈值\(t\)的大小
（2）基于阈值的PSI协议分为两部分：
- 交集的势测试（Cardinality Testing ），即测试参与方的交集是否大于\(n-t\)
- PSI：计算交集
两方阈值PSI：
（1）双方先检测交集大小是否\(> n-t\)
（2）若满足，则求交（获取交集）；否则，什么也得不到（获取不到交集）
标准PSI和阈值PSI的对比：
- 标准的PSI更在乎交集，而不在乎交集的大小，而阈值PSI更关注交集的大小。
- 阈值PSI的通信量较少，只取决于阈值\(t\)的大小；标准的PSI通信量取决于输入集合的大小。
阈值PSI现状：
只有以下方案进行了讨论：
（1）【Privatepool: Privacy-preserving ridesharing-2017】
（2）【An algebraic approach to maliciously secure private set intersection-2019】
（3）【The communication complexity of threshold private set intersection-2019】
其中只有（3）的通信复杂度不依赖于\(n\)，方案是两方场景。
（4）【Multi-party threshold private set intersection with sublinear communication-2021】
这也是一个多方阈值PSI，使用FHE，通信复杂度为\(O(Nt)\)，也提出了一个TPKE加密方案实现了：只有当各方的交集足够大时，各方才能求交集。还可以秘密的计算汉克尔矩阵的行列式（矩阵大小的线性时间内）。
阈值PSI的应用：
（1）约会APP
（2）生物特征认证
（3）拼车【Privatepool: Privacy-preserving ridesharing 】
假设两个（或更多）方正在使用拼车应用程序，如果他们的路线有很大的交集，它允许他们共享车辆。然而由于隐私问题，他们不想公开他们的行程。阈值PSI可以解决该问题，各方可以联合执行一个阈值PSI协议，了解路线的交叉点，如果交叉点足够大，共享一辆车，否则，他们就不共享一辆车，也能保证用户的路线隐私。
当前的阈值PSI主要分为两步：
（1）Cardinality Testing：就是各方检测交集是否大于\(n-t\)
（2）PSI：如果满足（1），则输出交集；否则没有输出
具体：
如果起始\(t=1\)，则\(t\)的取值范围有：\(1,2,4,8,...,t,2t\)
通信复杂只取决于\(t\)的原因：
合适的阈值一定是2的次幂 ，如果交集大于\(n-t'\)，则Cardinality Testing对于阈值\(t\)就成功，因为\(t\geq t'>t/2\)，所以协议的通信复杂度只取决于阈值的大小。
解释有点牵强，或许我没理解
\(t'\)是什么？
贡献
（1）多方Cardinality Testing
- 较上面的Cardinality Testing，这里给出了满足多方的Cardinality Testing
- 通信复杂度为\(O(Nt^2)\)
- 并给出一些新的线性计算（linear algebra）：求密文矩阵相乘、求密文矩阵的秩、求密文矩阵的逆等
该协议在【Secure linear algebra using linearly recurrent sequences-2007】【Communication efficient secure linear algebra-2006】的（两方）基础上构建的多方阈值PSI。
（2）多方阈值PSI
这里也是将一个两方的协议改为多方。
回顾一下两方的情况：
两方Alice和Bob各有数据\(S_A\)和\(S_B\)，其大小都是\(n\)，阈值\(t<<n\)，如果\(|S_A\cap S_B|\geq n-t\)，则求出交集\(S_A\cap S_B\)。
我们方案基于【The communication complexity of threshold private set intersection-2019】论文，这是一个两方的阈值PSI协议：
（1）若交集大于\(n-t\)
（2）计算交集
两方将数据编码到多项式中，得到\(P_A(x)=(x-a_i)...(x-a_n)\)和\(P_B=(x-b_1)...(x-b_n)\)在一个大的有限域上\(F\)，其中\(a_i\in S_A,b_i\in S_B\)，然后只要满足\(|S_A\cap S_B|\geq n-t\)，则：
且\(deg(P_A)=deg(P_B)=t\)，所以两方只需要在\(P_A(x)/P_B(x)=P_{A\setminus B}(x)/P_{B\setminus A}\)上计算\(O(t)\)个点。然后将这些点插值得到\(P_A(x)/P_B(x)\)，然后求出分母\(P_{B\setminus A}\)，继而求出交集多项式\(P_{A\setminus B}(x)=P_B(x)/P_{B\setminus A}\)
紧接上文问题：具体如何根据\(P_A(x)/P_B(x)\)，然后求出分母\(P_{B\setminus A}\)？
Bob不能恢复出分子\(P_{A\setminus B}\)，否则方案就不安全了，所以这里使用Oblivious Linear Evaluation (OLE)技术用于“掩盖”分子项（随机化）。
该协议只有满足\(|S_A\cap S_B|\geq n-t\)，才是安全的，否则就会泄露额外的信息，所以双方应该先执行Cardinality Testing操作，来保证协议是满足\(|S_A\cap S_B|\geq n-t\)的。
扩展到多方的限制：
这里讲的是Cardinality Testing如何扩展为多方：
参与方先将数据编码到多项式中，得到\(Q_A(x)=x^{a_i}+...+x^{a_n}\)和\(Q_B=x^{b_1}+...+x^{b_n}\)，其中\(a_i\in S_A,b_i\in S_B\)，检测\(Q(x)=Q_A(x)-Q_B(x)\)是否是一个稀疏多项式（sparse polynomial），若是，则判断集合\((S_A \cup S_B)\setminus (S_A \cap S_B)\)是小集合（small），通信复杂度为\(O(t^2)\)。
那问题来了：
（1）如何判断多项式是否时稀疏的？
（2）如何判断集合是小的？
如果将其扩展为多方，对于\(N\)个参与者，有：\(\widetilde{Q}(x)=(N-1)Q_1(x)-Q_2(x)-...-Q_N(x)\)，如果\(N\)很小的话，那该多项式\(\widetilde{Q}(x)\)就是稀疏的，那我们要是能计算该多项式的稀疏性，那么Cardinality Testing协议的总通信量变为\(O((Nt)^2)\)。
主要方法1、安全线性代数（Secure Linear Algebra ）
来源【Secure linear algebra using linearly recurrent sequences 】
有两个参与方，一方有矩阵的加密\(Enc(pk,M)\)，另一方有对应的解密私钥\(sk\)，他们想要对这个密文矩阵做运算（线性计算，linear algebra related ），比如：求逆矩阵的行列式、秩或者计算出\(x\)，对于\(Mx=y\)，给出加密的\(M,y\)。
我们可以将该问题扩展到方，对于N个参与者\(P_1,...,P_N\)，每人有一份私钥的分享值，此外\(P_1\)有一个加密的矩阵，目的是要对这个加密的矩阵做运算（线性计算，linear algebra related）。
我们发现可以将【secure linear algebra】协议扩展为多方场景，通过使用具有加法同态性的阈值PKE代替具有加法同态的PKE和GC代替来实现，所以该方案允许N方在阈值PKE下解决这个线性代数问题\(Mx=y\)。
2、多方势检测（Cardinality Testing via Degree Test of a Rational Function ）
对于参与方编码的多项式\(P_{S_i}(x)=(x-a_1^{(i)})...(x-a_n^{(i)}),i\in [1, N]\)，有：
若交集\(\cap S_i\)大小大于\(n-t\)，则\(deg(P_{S_1\setminus (\cap S_i)})=...=deg(P_{S_N\setminus (\cap S_i)})\leq t\)。
以上是求交的方法！
所以Cardinality Testing有以下问题：
对于有理函数\(f(x)=P_1(x)/P_2(x)\)，能否安全的判断\(deg(P_1(x))=deg(P_2(x))\leq t\)，进而通过插值\(O(t)\)个点得到\(f(x)\)？
我们发现，将\(V=(v_i,f(v_i))\)和\(W=(w_i,f(w_i))\)(\(2t\)个点值)，插值为多项式\(f_V(x),f_W(x)\)，满足：
另外，插值有理函数可以看作是求解线性方程组，所以通过前面介绍的“Secure Linear Algebra”，可以安全（不泄露额外信息）的计算“degree test”，换句话说，这能判断交集大小是否小于\(n-t\)，同时不泄露额外信息。
3、多方计算交集
这里的方法可以看作是【The communication complexity of threshold private set intersection 】的推广。
各方将其数据进行编码为多项式\(P_{S_i}(x)=(x-a_1^{(i)})...(x-a_n^{(i)}),i\in [1, N]\)，并且知道交集大小\(> n-t\)，各方联合计算出有理函数\((P_{S_1}+...+P_{S_N})/P_{S_1}\)，然后插值\(O(t)\)个点值，\(P_1\)方恢复出分母，求出交集。
该方案和【The communication complexity of threshold private set intersection】的不同之处就是，将“OLE calls”换成了基于阈值的PKE（具有加法同态性），可以看成多方OLE的替换。
4、安全性
在UC框架下证明了Cardinality Testing的安全，但还存在一个问题，就是“secure linear algebra”协议不能证明是UC安全的，因为输入是在公钥加密的密文，在UC设置中，输入是来自其他地方。
使用Externalized UC框架解决该问题，在该框架下，安全的“linear algebra ideal functionalities”共享公钥，每人一个私钥的分享份，使用这种方法证明协议的安全性。
由于“secure linear algebra”协议是安全的，如果它们都共享相同的公钥，那么在“Cardinality Testing”中，我们只需要创建此公钥并共享，所以我们可以证明“Cardinality Testing”是UC安全的。
其他的证明方式：仅证明住主协议的安全性，而不单独证明每个字协议的安全性。
基础推荐参考：UC安全，接下来需要看Externalized UC！
\(S\)是一个有限集合，\(x\leftarrow S\)表示从\(S\)中随机采样，\(|S|\)表示\(S\)的势（cardinality）；\(N\)个参与者;给出两个不可区分的分布\(D_1,D_2\)；安全参数\(\lambda\)
阈值的PKE
主要介绍了密钥生成算法和判断是否为0的加密算法
方案使用UC框架【A new paradigm for cryptographic protocols】分析安全性，在该协议中，只考虑半诚实敌手。
其中：
- \(Z\)是环境
- \(\pi\)是协议
- \(A\)是真实世界
- \(F\)是理想函数
- \(SIM\)是模拟器
理想情况下的基于阈值的多方PSI：
只有当交集够大时，各方才会求交集。
Externalized UC of Global Setup：
externalized UC emulation (EUC)来源于【Universally composable security with global setup】，这是全局设置（global setup）的UC框架（简单版）
下面介绍使用一个随机多项式去“混淆/遮盖”一个级数小于t的多项式：
这种方式也可以用于多个多项式（多方），只要他们不共享一个因子（common factor）。
什么意思，不能约么？
下面介绍如何通过插值恢复出这个有理函数\(f(x)=P(x)/Q(x)\)以及证明该函数是唯一的
其中\(P(x)\)的级数为\(m\)，\(Q(x)\)的级数为\(n\)，则\(f(x)\)可一通过插值\(m+n+1\)个点唯一的插值出\(f(x)\)，若\(P(x),Q(x)\)是首一的（monic），则只需要\(m+n\)个点。
给定集合\(V=(x,y)\)，大小为\(m_1+m_2+1\)，可以根据这\(V\)个点唯一的插值出\(f(x)=P(x)/Q(x)\)。
引理
下面给出一个多方协议下求线性计算\(Mx=y\)，通信复杂度为\(O(t^2k\lambda N)\)。
多方求线性函数（Oblivious Linear Algebra） 多方求加密矩阵乘功能是：
具体实现如下：
（1）初始化：各方\(P_i\)，共享公钥\(pk\)，以及每方各有一份私钥分享份\(sk_i\)
（2）输入：\(P_1\)输入两个矩阵的加密\(Enc(pk,M_l),Enc(pk,M_r)\),其中\(M_l,M_r\in F^{t*t}\)
（3）输出：各方得到\(Enc(M_l*M_r)\)
其思想就是：$(a_1+a_2+a_3)(b_1+b_2+b_3)-a_2(b_1+b_2+b_3)-a_3(b_1+b_2+b_3)=a_1b_1 $
但存在一个问题：（以三方为例）
最后得到的\(e=Enc(M_l*M_r)+Enc(R_r^{(1)}*R_r^{(1)})+Enc(R_r^{(2)}*R_r^{(2)})+Enc(R_r^{(3)}*R_r^{(3)})\)，因为在上面框红处，没有自乘！
多方求加密矩阵的秩
功能：
具体实现如下：
其中\(F_{OMM}\)表示的是以\(O(log t)批处理\)计算\(t\)次乘法
不太懂
多方求线性函数
思想是将问题约减为最小多项式。
\(M\)是一个非奇异矩阵（non-singular matrix），也叫做满秩矩阵。
\(M,x,y\)都是密文形式。
功能：
具体实现如下：
功能：判断多方的交集数量\(t'\)是否大于阈值\(t\)，若满足，则输出1，否则输出0。
主要思想是：
在两个不同数据集上插值出有理函数，并检查两次实验的结果是否相同。
插值有理函数可以看作求解线性函数，因此可以使用“secure linear algebra”求解线性函数。
最后各方只需要安全的检查\(C_v^{(1)}C_w^{(2)}-C_w^{(1)}C_v^{(2)}=0\)是否成立！
给定有理函数\(P(x)/Q(x)\)，其中\(P(x),Q(x)\)有相同的级数，并给定两个集合\(V_1,V_2\)，下面的协议\(secDT\)是判断这个有理数函数的级数是否小于阈值\(t\)：
下面具体来分析一波：
（1）初始化
- 各方共享公钥\(pk\)，且每人有一个私钥份\(sk_i\)；
- 假设各方可以正常执行理想函数：\(F_{ORank},F_{OLS},F_{OMM},F_{DecZero}\)；
- 各方共享一组随机数\((\alpha_1,...,\alpha_{4t+2}\)；
（2）参与方\(P_1\)输入
输入：\(((\alpha_1,Enc(pk,f_1)),...,(\alpha_{4t+2},Enc(pk,f_{4t+2})))\)，其中\(f_i=P_1(\alpha_i)/P_2(\alpha_i)\)，\(P_1(x),P_2(x)\)是两个级数为\(t'\)的多项式
（3）\(P_1\)设置
将\(P_1\)的输入\(((\alpha_1,Enc(pk,f_1)),...,(\alpha_{4t+2},Enc(pk,f_{4t+2})))\)拆分为两部分\((\alpha_j,Enc(pk,f_j))_{j\in [2t+1]}=(v_j,Enc(pk,f_{v,j})))_{j\in [2t+1]}\)和\((\alpha_j,Enc(pk,f_j))_{j\in (2t+2,...,4t+2)}=(w_j,Enc(pk,f_{w,j})))_{j\in [2t+1]}\)。
所以得到了\(4t+2\)对点值\((v_j,Enc(pk,f_{v,j})_{j\in [2t+1]}\)和\((w_j,Enc(pk,f_{w,j})_{j\in [2t+1]}\)。
由上面的点值构造两个密态线性系统：
其中\(r=(v,w)\)，\(M_r\)是一个维数为\(2t+1\)的方阵，\(y_r\)是一个长度为\(2t+1\)的向量。
这样就得到了加密的\(M_v,y_v\)和\(M_w,y_w\)。
（4）各方联合计算
计算：\(Enc(pk,rank(M_r)-rank([M_r || y]))\)，如果结果不为0，则停止协议，其中使用了两次\(F_{ORank}\)和\(F_{DecZero}\)。
即参与方联合测试\(Enc(pk,rank(M_v)-rank([M_v || y_v]))\)和\(Enc(pk,rank(M_w)-rank([M_w || y_w]))\)解密后是否为0，若为0，则继续。
（5）各方联合计算
利用\(F_{OLS}\)计算上面的两个线性函数，每方得到\(Enc(pk,(c_v^{(1)}||c_v^{(2)}))\)和\(Enc(pk,(c_w^{(1)}||c_w^{(2)}))\)，其中\(M_r[c_r^{(1)},c_r^{(2)}]=y_r,r\in(v,w)\)；\(c_r^{(1)}\)和\(c_r^{(2)}\)各是长度为\(t+1\)和\(t\)的向量。
这时各方能根据\(M_r[c_r^{(1)},c_r^{(2)}]=y_r,r\in(v,w)\)由\((y_v,M_v)\)得到密态的\(c_v^{(1)}||c_v^{(2)}\)，\((y_w,M_w)\)得到密态的\(c_w^{(1)}||c_w^{(2)}\)。
（6）各方联合计算
计算出：\(C_v^{(1)}(x)=\sum_{j=0}^{t}c_{v,j}^{(1)}x^{t-j}\)，\(C_v^{(2)}(x)=x^t+\sum_{j=0}^{t}c_{v,j-1}^{(2)}x^{t-j}\)和\(C_w^{(1)}(x)=\sum_{j=0}^{t}c_{w,j}^{(1)}x^{t-j}\)，\(C_w^{(2)}(x)=x^t+\sum_{j=0}^{t}c_{w,j-1}^{(2)}x^{t-j}\)
最终计算出密态的\(z\)。
（7）判断
各方使用\(F_{DecZero}\)检查\(z\)是否等于0（即对\(z\)解密）。如果是，输出0；如果不是，输出1。
我们考虑在对插值生成\(f(x)=P(x)/Q(x)\)，当\(Q(\alpha_i)=P(\alpha_i)=0\)时，我们就不能求\(f(x)\)了。
解决办法就是，去掉该点：
使得\(\widetilde{P}(x)=P(x)/(x-\alpha _i),\widetilde{Q}(x)=Q(x)/(x-\alpha _i),f(\alpha _i)=\widetilde{P}(\alpha _i)/\widetilde{Q}(\alpha _i)\)
具体来讲，就是计算出点值对\((\alpha _i,Enc(pk,P_1(\alpha _i)/(x-\alpha _i))\)，\((\alpha _i,Enc(pk,P_2(\alpha _i)/(x-\alpha _i)))\)。
这里的\(P_1(),P_2(X)\)指的是\(P(x),Q(x)\)
然后再分别构造出\(Enc(pk,M_r),Enc(pk,y_r)\)，后面的不变。
另外协议也能推广到\(deg(P(x))\neq deg(Q(x))\)的情况。
多方阈值PSI该协议的重点就是cardinality test protocol，能够安全的判断N方数据的交集和阈值的大小关系。
安全的势检测（Secure Cardinality Testing）1、理想功能
2、具体实现
总结一下：
（1）各方先各自将数据编码为多项式，然后求出\(4t+2\)个点值，加密这些点，得到\(4t+2\)个密态值\(Enc(pk,r_i*P_i(\alpha_j))\)，广播出去。
（2）\(P_1\)得到\(4t+2\)个\(c_i^{(j)}\)，计算得到\(d^{(j)}\)，形成密态点值对\((\alpha_j,d^{(j)})\)，并和私钥\(sk_1\)一起发送给理想函数\(F_{SDT}\)。
（3）其他参与方\(P_2,...,P_N\)也将各自的私钥\(sk_i\)发送给理想函数\(F_{SDT}\)，从而判断分子\(P_1(x)\)和分母\(P_2(x)\)的级数是否最大为\(t\)，然后输出结果。
在该协议中，通过使用TPKE扩展了之前的方案，具体协议如下：
总结一下：
（1）各方先将数据发送给理想函数\(F_{MPCT}\)，检测交集大小和阈值的大小关系。
（2）再通过理想函数\(F_{Gen}\)生成密钥：各方共享公钥\(pk\)，各自有一个私钥份\(sk_i\)。
（3）各方执行：
- 将数据\(S_i\)编码为多项式\(P_i(x)\)，计算出\(3t+_1\)个点值\(P_i(\alpha_j)\)。
- 采样\(R_i(x)\)，使得\(deg(R_i(x))=t\)。
- 加密：\(c_i^{(j)}=Enc(pk,R_i(\alpha_j)*P_i(\alpha_j))\)，然后广播出去。
（4）\(P_1\)将收到的对应的密文相加得到\(3t+1\)个值\(d^{(j)}=\sum_{i}^{N}c_i^{(j)}\)，再将其广播出去。
（5）联合解密出\(V^{(j)}=Dec(sk,d^{(j)})\)。
（6）\(P_1\)计算点\(\widetilde{V}^{(j)}=V^{(j)}/P_1(\alpha_j)\)，得到点值对\((\alpha_j,\widetilde{V}^{(j)})\)，将其插值出函数\(\widetilde{V}^{(j)}(x)\)，再恢复出分母\(P_{S_1\setminus (\cap S_i )}(x)\)。
（7）\(P_1\)根据自己数据\(S_1=(a_1^{(1)},...,a_1^{(n)})\)计算出\(P_{S_1\setminus (\cap S_i )}(a_1^{(j)})\)，根据\(P_{S_1\setminus (\cap S_i )}(a_1^{(j)})\neq 0\)，判断\(a_1^{(j)}\)是否在交集中。
（8）广播交集。
在这里给出了详细如何根据\(P_{S_1\setminus (\cap S_i )}(x)\)，计算出交集！
正确性证明：
这样就能根据\(3t+1\)个点插值出\(\widetilde{V}^{(j)}(x)\)，再“恢复”出分母\(P_{S_1\setminus (\cap S_i )}(x)\)，进而带入数据元素判断是否为交集元素。
总结1、关键点“cardinality test protocol”，也是最难理解的
2、如何根据\(f(x)\)恢复出分母？