§1.定积分 —1.定积分的定义所需的前置知识：
1）函数的概念
2）实数理论
3）极限理论（第0章）
4）导数与微分（第1章）
5）微分学基本定理（第2章）
定积分的发明源于对曲边形面积的研究。我们先看一个简单的例子：
求二次函数 \(f(x)=x^2\) 与直线 \(x=0,x=1\) 以及 \(x\) 轴围成的曲边形的面积 \(S\) 。
初看令人束手无策。对于一个素昧平生的新问题，我们还是要拿出微积分学的初心——“用有限逼近无限，用离散逼近连续”。最简单好求面积的图形是什么？矩形。那么，我们不妨将这图形切割成矩形。将区间 \([0,1]\) 等分为 \(n\) 份，以每份的右端点的函数值为高，计算出面积和：
\[S_n=\sum_{i=1}^{n}{f(\frac{i}{n})\cdot\frac{1}{n}} =\sum_{i=1}^{n}{\frac{i^2}{n^3}} =\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}{i^2} =\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2} \]当 \(n\to\infin\) 时，\(S_n\) 趋于 \(S\) ，也就是：
\[S=\lim_{n\to\infin}{S_n} =\lim_{n\to\infin}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right)} =\frac{1}{3} \]得出结论 \(S=\frac{1}{3}\) 。
更一般的，对于求函数 \(f(x)\) 与直线 \(x=a,x=b\) 以及 \(x\) 轴围成的曲边形的面积，我们如法炮制。首先从小到大取闭区间 \([a,b]\) 内一定数量的点 \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\) ，取点可以不均匀（这在极限意义下都是无关紧要的），然后将两点之间的距离 \(\Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}\ (1\leqslant i\leqslant n)\) 作为矩形的底边。对每一个矩形底边 \(\Delta x_i\) ，在区间 \([x_{i-1},x_i]\) 内取一点 \(\xi_i\) ，并以这一点的函数值 \(f(\xi_i)\) 作为矩形的高，算出所有矩形面积之和：
\[S_n=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i} \]然后取极限。注意到由于是不一定均匀的取点，单纯令 \(n\to\infin\) 是不能达到逼近曲边形面积的效果的（例如取区间 \([a,b]\) 的 \(1/2,1/4,1/8,\cdots,1/2^n\) 处），我们应令 \(\lambda=\max\{\Delta x_i\}\to 0\) ，也就是所有的底边长度的最大值趋于零，才能得到正确结果：
\[S=\lim_{\lambda\to0}{S_n}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}} \]等式最右边就是定积分的定义式[^可积性]：
\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}} \]形象地看，定积分的符号就是将 \(S\) 拉长成 \(\int\) ， \(f(\xi_i)\) 写成 \(f(x)\) ， \(\Delta x\) 写成 \(\text{d}x\) ，并标上区间左右端点得到的。定积分是因其结果为定数而得名的。
—2.定积分的性质附注：
此处的 \(\text{d}x\) 在初期可以理解几何诠释中矩形的无穷小的底边，但它的实际作用是说明积分的变量。这要到后面的分部积分法和换元积分法的时候才会体现。
如上定积分的定义局限于 \(a<b\) 的情况，简单粗暴的补充：
\[\int_a^a{f(x)\text{d}x}=0 \quad, \int_b^a{f(x)\text{d}x}=-\int_a^b{f(x)\text{d}x} \]就可以对任意的 \(a,b\) 做定积分了。
定积分满足如下显然的（所谓证明不过是套定义式罢了）运算法则：
\((ⅰ)\quad\) 加减法则：\(\int_a^b{(f(x)\pm g(x))\text{d}x}=\int_a^b{f(x)\text{d}x}\pm\int_a^b{g(x)\text{d}x} \)
\((ⅱ)\quad\) 系数法则：\(\int_a^b{kf(x)\text{d}x}=k\int_a^b{f(x)\text{d}x}\) （ \(k\) 为常数）
\((ⅲ)\quad\) 连接法则：\(\int_a^b{f(x)\text{d}x}+\int_b^c{f(x)\text{d}x}=\int_a^c{f(x)\text{d}x}\)
或许你已经准备计算一些常见函数的定积分了，但是……这个定义式几乎没有任何用处——绝大多数函数的求和是没办法计算的。别急，插个题外话，一切便豁然开朗。
§2.不定积分 —1.不定积分的定义 求导是一种将函数变为另一个函数的运算（这被称为“算子”），如同定义了加法之后便要定义它的逆运算——减法，我们定义如下的求导的逆运算：
若两函数 \(F(x),f(x)\) 满足 \(F'(x)=f(x)\) ，就称：
\[\int{f(x)\text{d}x}=F(x)+C \]其中 \(C\) 为任意常数，此运算称为对 \(f(x)\) 的不定积分， \(F(x)\) 称为 \(f(x)\) 的原函数。
常数 \(C\) 的存在，是由于常数不会影响求导结果。正因如此，不定积分的结果不是一个函数，而是一个函数集合 \(\mathbb{F}=\{F(x)+C | C\in\mathbb{R}\}\) ，这也就是其被称为“不定”积分的缘故。
出于严谨，我们要检验一下不定积分的完备性，也就是不会出现 \(G'(x)=f(x)\) 且 \(G'(x)\notin\mathbb{F}\) ：
证明： \(F'(x)=G'(x)\) 当且仅当 \(F(x)-G(x)\) 为常数。
由前推后：令 \(\phi(x)=F(x)-G(x)\) ，则 \(\phi'(x)=F'(x)-G'(x)=0\) ，由【第2章 §2 —1. 定理零】，\(\phi(x)\) 为常函数，得证。
由后推前：显然。
于是我们完备地得到了不定积分的定义。
根据不定积分的定义，有显然的恒等式：
\[\int{f'(x)\text{d}x}=f(x)+C \]我们把函数 \(y=f(x)\) 的导数写成微分之比 \(y'=\cfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\) 的形式，自然地约掉 \(\text{d}x\) 得到：
\[\int{y'\text{d}x}=\int{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x}=\int{\text{d}y}=y+C \]于是，我们可以理解为： \(\int\) 和 \(\text{d}\) 是一对互逆运算！[1]
不定积分的相加和乘以系数有如下显然的运算法则：
对于函数 \(u=f(x)\) ，\(v=g(x)\) ：
\((ⅰ)\quad\) 加减法则： \(\int{(u \pm v)\text{d}x}=\int{u}\text{d}x \pm \int{v\text{d}x}\)
\((ⅱ)\quad\) 系数法则： \(\int{(k\cdot u)\text{d}x}=k\cdot\int{u\text{d}x}\) （ \(k\) 为常数）
但是不定积分的乘法和函数嵌套法则则涉及复杂的技巧（以至于它们甚至失掉了“乘法”和“嵌套”这两个基本的名字，改为了“分部积分法”和“换元积分法”），我们会专辟一节加以讨论，此处且按下不表。
—2.微积分基本定理 读到此处你一定会发现一件怪事：定积分和不定积分的定义迥然不同，但它们却有极其形似的名称和记号。这一切都源于如下大名鼎鼎的微积分基本定理（又名牛顿-莱布尼茨定理）：
若 \(F'(x)=f(x)\) ，则：
\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=F(b)-F(a) \]我们有时记等号右侧为 \(F(x)|_a^b\) ，如同时记 \(F(x)=\int{f(x)\text{d}x}\) ，就能得到如下的优美式子：
\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\left.\int{f(x)\text{d}x}\right|_a^b \]
是不是令人折服？现在运用拉格朗日中值定理证明之：
证明：若 \(F'(x)=f(x)\) ，则：
\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=F(b)-F(a) \]摆出定积分的定义式：
\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}} \]对于任意一段 \([x_{i-1},x_i]\) ，由拉格朗日中值定理[2]，有：
\[F(x_i)-F(x_{i-1})=f(c_i)\Delta x_i\qquad c_i\in(x_{i-1},x_i) \]由于 \(\xi_i\) 的选取是任意的，不妨令 \(\xi_i=c_i\) ，那么：
\[\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}= \sum_{i=1}^{n}{f(c_i)\Delta x_i}= \sum_{i=1}^{n}{(F(x_i)-F(x_{i-1}))}= F(x_n)-F(x_0) \]所以：
\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Delta x_i}} =\lim_{\lambda\to0}{(F(x_n)-F(x_0))}=F(b)-F(a) \]命题得证。
有了微积分基本定理，我们就自然地搭建起了微分和积分的桥梁。从现代的角度，这定理描述的是定积分和不定积分的关系。但在微积分草创之时，其意义则十分重大：从几何角度，“积分”就是求曲边图形面积，“微分”就是求曲线斜率；从物理角度，“积分”就是求连续变化系统的宏观状态，“微分”就是求连续变化系统的微观改变；微积分基本定理就是在说，以上这两对操作分别互逆！
有了微积分基本定理之后，我们就可以专心于“如何求不定积分”这一问题，定积分的内容将很少以重要的形式再出现了。
—3.微积分基本定理的相关结论和例子 如下结论从证明的路线上来说，理应出现再微积分基本定理前边（至少是同时），但是从微积分基本定理回望它们会显得更容易理解。
-
积分中值定理
对于区间 \([a,b]\) 上的函数 \(f(x)\) ，存在 \(c\in[a,b]\) 使得：
\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=f(c)(b-a) \]令 \(F(x)=\int{f(x)\text{d}x}\) ，则由微积分基本定理结合拉格朗日中值定理：
\[\int_a^b{f(x)\text{d}x}=F(b)-F(a)=F'(c)(b-a)=f(c)(b-a) \] -
原函数存在定理
对于函数 \(f(x)\) ，如下的函数 \(F(x)\) 是其原函数：
\[F(x)=\int_a^x{f(t)\text{d}t} \]给定自变量增量 \(\Delta x\) ，则函数 \(F(x)\) 获得增量：
\[\Delta F=F(x+\Delta x)-F(x) =\int_a^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}-\int_a^x{f(t)\text{d}t} =\int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t} \]根据积分的定义式，记 \(f(x)\) 在区间 \([x,x+\Delta x]\) 上的最大最小值分别为 \(M(f),m(f)\) ，有：
\[m(f)\Delta x\leqslant \int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}\leqslant M(f)\Delta x \]当 \(\Delta x\to 0\) 时，有 \(\lim m(f)=\lim M(f)=f(x)\) ，于是由夹逼定理：
\[\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}}=f(x) \]套用导数的定义：
\[F'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta F}{\Delta x}} =\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}{f(t)\text{d}t}} =f(x) \]意既 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的原函数。
附注：
这一定理是微积分基本定理的另一种证法（抑或另一种形式）。许多求导与积分的结合，或这极限与积分的结合，往往可使用这一定理。
下面举一些简单但有趣的积分计算的例子：
- \(\sin x\) 下的面积
计算函数 \(\sin x\) 与 \(x\) 轴在区间 \([0,\pi]\) 上围成的面积 \(S\) 。
根据定积分的几何意义，以及由 \((\cos x)'=-\sin x\) ，有：
\[S=\int_0^\pi {\sin x\text{d}x}=(-\cos x)\Big|_0^\pi=\cos 0-\cos\pi=2 \]
-
两个函数所夹的面积
如图（文件 §2-3-2.ggb ）计算由 \(f:y=x^2,g:y=\sqrt{x+1},x=-1,x=2\) 围成的阴影面积 \(S\) 。
首先算出 \(f,g\) 两函数的原函数（不妨令积分常数 \(C=0\) ）：
\[F(x)=\int{f(x)\text{d}x}=\frac{1}{3}x^3\quad,\quad G(x)=\int{g(x)\text{d}x}=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} \]我们将如图的阴影分为三块：以 \(A,B,C\) 为顶点的曲边三角状面积 \(S_1\) ，以 \(C,D\) 为顶点的叶子状面积 \(S_2\) ，以 \(D,E,F\) 为顶点的曲边三角状面积 \(S_3\) 。整个积分区间 \([-1,2]\) 相应分为三段 \([-1,x_C],[x_C,x_D],[x_D,2]\) （先不解出 \(C,D\) 的坐标），分别算出：
\[S_1=\int_{-1}^{x_C}{(f(x)-g(x))\text{d}x}=(F(x)-G(x))\Big|_{-1}^{x_C} =F(x_C)-G(x_C)-F(-1)+G(-1) \\ S_2=\int_{x_C}^{x_D}{(g(x)-f(x))\text{d}x}=(G(x)-F(x))\Big|_{x_C}^{x_D} =G(x_D)-F(x_D)-G(x_C)+F(x_C) \\ S_3=\int_{x_D}^{2}{(f(x)-g(x))\text{d}x}=(F(x)-G(x))\Big|_{x_D}^{2} =F(2)-G(2)-F(x_D)+G(x_D) \qquad \]将上三项相加，带入 \(x_C \approx -0.724,x_D \approx 1.221\) ，得到 \(S=S_1+S_2+S_3 \approx 2.29\) 。
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运用积分夹逼
求证：\(18\leqslant\displaystyle\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}\leqslant 19\)
由于下面两幅图（文件 §2-3-3.ggb ），其中橙色和蓝色部分是原和\(-1\) ，青色和黄色的部分是函数 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\) 在区间 \([2,100]\) 和 \([1,99]\) 上分别做的积分，
根据图像有 \(S_{青}<S_{蓝}=S_{橙}<S_{黄}\) ，因而我们可以得到：
\[2\sqrt{100}-2\sqrt{2}=\int_{2}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}< \sum_{x=2}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}} <\int_{1}^{99}{\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}=\sqrt{99}-\sqrt{1} \]因此：
\[18<2\sqrt{100}-2\sqrt{2}+1<\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}<2\sqrt{99}-2\sqrt{1}+1<19 \]附注：
\[\sqrt{x+1}+\sqrt{x}>2\sqrt{x}>\sqrt{x}+\sqrt{x-1} \\ \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}<\frac{1}{2\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}} \\ 2\sqrt{x+1}-2\sqrt{x}<\frac{1}{\sqrt{x}}<2\sqrt{x}-2\sqrt{x-1} \]
此题当然有初等解法。注意到：因而原和满足（此处将 \(x=1\) 单列是为了夹逼的紧度）：
\[1+\sum_{x=2}^{100}{(2\sqrt{x+1}-2\sqrt{x})}<\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}<1+\sum_{x=2}^{100}{(2\sqrt{x}-2\sqrt{x-1})} \\ 18<2\sqrt{100}-2\sqrt{2}+1<\sum_{x=1}^{100}{\frac{1}{\sqrt{x}}}<2\sqrt{99}-2\sqrt{1}+1<19 \]然而认识到这一不等式，上两图的积分图像也是不可或缺的。
根据已经熟知的求导法则：
\[(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x) \]有对应的积分恒等式：
\[\int{f'(x)g(x)\text{d}x}=f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x)\text{d}x} \\ f(g(x))+C=\int{f'(g(x))g'(x)\text{d}x} \]第一个式子被称为“分部积分法”。而第二个式子常写作
\[\int{f(u)\text{d}u}=\int{f(u(x))u'(x)\text{d}x} \]此时它起到将 \(u\) 换为 \(x\) 的作用，被称为“换元积分法”。如上两法的微分形式如下：
\[\int{u\text{d}v}=uv-\int{v\text{d}u} \\ \int{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x}=\int{\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\text{d}x} \] 此两法的详细内容会在下一章讨论，此处先以两个例子感受一二：
-
\(\int{\sec x\text{d}x}\)
令 \(t=\sin x\) ，则 \(\text{d}x=\frac{1}{\cos x}\text{d}t\) ，代入原式：
\[\int{\sec x\text{d}x} =\int{\frac{1}{\cos x}\text{d}x} =\int{\frac{1}{\cos^2 x}\text{d}t} =\int{\frac{1}{1-t^2}\text{d}t} \]对于这个分式，采取裂项的手段处理（这也会在下一章详细讨论）：
\[\int{\frac{1}{1-t^2}\text{d}t} =\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1-t}\text{d}t}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+t}\text{d}t} =\frac{1}{2}\ln{(1-t)}+\frac{1}{2}\ln{(1+t)}+C \]由于 \(t=\sin{x}\in[-1,1]\) ，故 \(\ln\) 内不必带绝对值。回代 \(t=\sin x\) ，并化简：
\[\frac{1}{2}\ln{(1-t)}+\frac{1}{2}\ln{(1+t)}+C =\ln{\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}}+C =\ln{\vert\tan x+\sec x\rvert}+C \]得到答案：
\[\int{\sec x\text{d}x}=\ln{\vert\tan x+\sec x\rvert}+C \]附注：
\[\begin{align*} \int{\sec x\text{d}x} & =\int{\frac{\sec^2 x+\tan x\sec x}{\sec x+\tan x}\text{d}x} \\ & =\int{\ln'(\sec x+\tan x)\cdot(\sec x+\tan x)'\text{d}x} \\ & =\ln{\vert\tan x+\sec x\rvert}+C \end{align*} \]
另有一极巧妙的做法：套用 \(f(g(x))+C=\int{f'(g(x))g'(x)\text{d}x}\) 。
-
\(\int{e^x\sin x\text{d}x}\)
令 \(u=e^x,v=\sin x\) ，套用两次分部积分法：
\[\begin{align*} \int{e^x\sin x\text{d}x} &=e^x\sin x-\int{e^x\cos x\text{d}x} \\ & =e^x\sin x-\left(e^x\cos x-\int{e^x(-\sin x)\text{d}x}\right) \\ & =e^x(\sin x+\cos x)-\int{e^x\sin x\text{d}x} \end{align*} \]于是得出：
\[\int{e^x\sin x\text{d}x}=\frac{e^x}{2}(\sin x+\cos x) \]附注：此类形如 \(e^xf(x)\) 的积分常用分部积分法，通常最终会在等号右侧重现原积分。
反常积分，是指在积分区间内被积函数有未定义点或无穷点的定积分，这些点被称为“瑕点”。例如
\[\int_{-\infin}^{+\infin}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x} \]就有 \(-\infin,-1,+1,+\infin\) 四个瑕点。
总可以通过拆分，将有多个瑕点的反常积分拆分成仅含有一个瑕点，并且瑕点位于积分上下界的反常积分。既然函数在瑕点处无定义，容易想到的处理方法是通过极限逼近。于是得到反常积分的定义（以下的 \(c\) 皆是函数无定义的点）：
\[\begin{align*} & \int_a^c{f(x)\text{d}x}=\lim_{t\to c}{\int_a^t{f(x)\text{d}x}} \qquad(t\in[a,c)) \\ & \int_c^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{t\to c}{\int_t^b{f(x)\text{d}x}} \qquad(t\in(c,b]) \\ & \int_a^{+\infin}{f(x)\text{d}x}=\lim_{t\to +\infin}{\int_a^t{f(x)\text{d}x}} \\ & \int_{-\infin}^b{f(x)\text{d}x}=\lim_{t\to -\infin}{\int_t^b{f(x)\text{d}x}} \end{align*} \] 我们尝试求一下本节开头的积分。有些初学者在可能会做如下论断：
由于被积函数 \(\cfrac{x}{x^2-1}\) 是奇函数，所以
\[\begin{align*} \int_{-\infin}^{+\infin}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x} & =\lim_{t\to+\infin}{\left(\int_{-t}^{0}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}+\int_{0}^{t}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}\right)} \\ & =\lim_{t\to+\infin}{\left(\int_{0}^{t}{\frac{-x}{x^2-1}\text{d}x}+\int_{0}^{t}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}\right)}=0 \end{align*} \]
如此做的错误在于试图仅用一个字母解决两个极限。正确的做法是先算出不定积分：
\[\int{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x} =\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}\text{d}x}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+1}\text{d}x} =\frac{1}{2}(\ln\lvert x-1\rvert+\ln\lvert x+1\rvert)+C \]然后老老实实按定义：
\[\begin{align*} \int_{-\infin}^{+\infin}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x} & =\lim_{a\to-\infin}{\int_a^{-2}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} +\lim_{b\to-1}{\int_{-2}^b{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} \\ & +\lim_{c\to-1}{\int_c^0{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} + \lim_{d\to1}{\int_0^d{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}}\\ & +\lim_{p\to1}{\int_p^2{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} +\lim_{q\to+\infin}{\int_2^q{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} \end{align*} \]首先取出第一个积分：
\[\begin{align*} \lim_{a\to-\infin}{\int_a^{-2}{\frac{x}{x^2-1}\text{d}x}} &=\lim_{a\to-\infin}{\frac{1}{2}(\ln\lvert x-1\rvert+\ln\lvert x+1\rvert)}\Big|_{a}^{-2} \\ &=\lim_{a\to-\infin}{\frac{1}{2}(\ln3+\ln1-\ln(1-a)-\ln(-1-a))} \\ & =-\infin \end{align*} \]依次计算剩余积分，得出的结果分别是 \(-\infin,+\infin,-\infin,\infin,\infin\) ，这些无穷互不关联，于是原积分的结果是一个不存在的值。
—3.体积、弧长、表面积积分 所谓“面动成体”，积分给予了我们强大的计算面积的工具，那接下来自然就可以开始体积的计算。我们要解决的是称为“旋转体”的立体的体积。对于一个定义在区间 \([a,b]\) 上的函数 \(f(x)\) ，我们将它与 \(x\) 轴、直线 \(x=a,x=b\) 围成的面积绕 \(x\) 轴旋转一周，求得到的立体的体积。
回到积分定义的本源，我们对曲边形的处理方法是将其分割成多个矩形小条，累加来近似。如果我们将这个矩形组成的近似物绕 \(x\) 轴旋转一周，则可以得到一组圆盘，每个圆盘的半径为矩形的高，也就是这一区间内某点的函数值，高为矩形的宽。因此，旋转体就可以横截成多个圆盘，累加来近似。
将思路落实成式子。首先分割区间 \([a,b]\) 为点 \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\) ，然后将每两点之间的距离 \(\Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}\ (1\leqslant i\leqslant n)\) 作为圆盘的厚度，同时在每个区间 \([x_{i-1},x_i]\) 内取一点 \(\xi_i\) ，并以这一点的函数值 \(f(\xi_i)\) 作为圆盘的半径，算出所有圆盘体积之和：
\[V_n=\sum_{i=1}^{n}{\pi (f(\xi_i))^2\Delta x_i} \]仿照积分定义的那个极限：
\[V=\lim_{\lambda\to0}{V_n}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{\pi (f(\xi_i))^2\Delta x_i}}=\int_a^b{\pi(f(x))^2\text{d}x} \] 让我们以一个实例练手
求半径为 \(r\) 的球的体积。
球由半圆旋转而成。半径为 \(r\) 的半圆对应函数
\[y=\sqrt{r^2-x^2} \qquad(-r\leqslant x\leqslant r) \]套用旋转体体积公式：
\[V=\int_{-r}^r{(\sqrt{r^2-x^2})^2\text{d}x} =\int_{-r}^{r}{(r^2-x^2)\text{d}x} =\left(r^2x-\frac{1}{3}x^3\right)\Big|_{-r}^r=\frac{4\pi}{3}r^3 \]就是我们熟悉的球的体积公式。如下图（文件 §3-3.ggb ，蓝色为球，绿色为推导过程中的圆盘）：
除了绕 \(x\) 轴旋转，还可以绕 \(y\) 轴旋转。此时的函数 \(f(x)\) 与 \(x\) 轴、直线 \(x=a,x=b\) 围成的面积旋转所得的立体，就可以如洋葱一般分割成数层柱壳，其中第 \(i\) 层的体积为 \(\nu_i=f(x_i)\pi(x_{i+1}^2-x_i^2)\) 。若直接将其累加套入极限，是无法整理成积分的形式的。我们可将其近似为以内层圆周长 \(2\pi x_i\) 为长、柱壳厚度 \(\Delta x_i\) 为宽、柱壳高度 \(f(\xi_i)\) 为高的长方体，其体积为 \(v_i=2\pi x_i \cdot\Delta x_i \cdot f(\xi_i)\) 。将其累加：
\[V_n=\sum_{i=1}^{n}{2\pi x_i f(\xi_i)\Delta x_i} \]仿照积分定义的那个极限：
\[V=\lim_{\lambda\to0}{V_n}=\lim_{\lambda\to0}{\sum_{i=1}^{n}{2\pi x_i f(\xi_i)\Delta x_i}}=\int_a^b{2\pi xf(x)\text{d}x} \] 旋转体当然还可以由绕非 \(x,y\) 轴的轴旋转得到，统一的处理方法是将其变换为坐标轴之后再积分。
积分的作用还可拓展到一维领域——求曲线弧长。若要求函数 \(y=f(x)\) 再闭区间 \([a,b]\) 内的函数图像曲线的长度，首先分割区间 \([a,b]\) 为点 \(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\) ，然后算出每两点之间对应的函数图像上的点之间的距离：
\[l_i=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2} =\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i \]将这些距离累加并求极限：
\[L=\lim_{\lambda\to 0}{L_n} =\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i}} \]注意到当 \(\lambda\to 0\) 时， \(\Delta x_i\to 0\) ，则根据导数的定义有 \(\cfrac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\sim f'(x)\) ，于是：
\[L=\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^n{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i}} =\int_a^b{\sqrt{1+(f'(x))^2}\text{d}x} \] 我们尝试根据这个式子求圆的周长：
半径为 \(r\) 的半圆对应函数 \(f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\) ，则
\[f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}} \]套用弧长的公式：
\[L=\int_{-r}^r{\sqrt{1+\left(-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2}\text{d}x} =\int_{-r}^r{\frac{\text{d}x}{\sqrt{r^2-x^2}}} \]换元 \(x=r\sin t\) ，则 \(\text{d}x=r\cos t\text{d}t\) ，积分下限 \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) （注意定积分换元时要一并替换积分区间），原积分变为 （此区间内 \(\cos t\geqslant 0\) ，无需讨论符号）：
\[L=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{r\cos t\text{d}t}{\sqrt{r^2-(r\sin t)^2}}}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{r\text{d}t} =rt\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\pi r \]因此圆的周长 \(C=2L=2\pi r\) 。
将曲线绕着轴旋转，就可以得到旋转曲面。读者可仿照求旋转体体积，自行推导如下两个绕 \(x,y\) 轴旋转得到旋转曲面的表面积：
\[x\text{轴}:\ \ S=\int_a^b{2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\text{d}x} \\ y\text{轴}:\ \ S=\int_a^b{2\pi x\sqrt{1+(f'(x))^2}\text{d}x} \quad \]§4.积分的实例 —1.万有引力势能 我们考虑一维空间中的情况[3]。经典力学中，质量为 \(M,m\) 、相距 \(x\) 的两物体之间的万有引力的方向指向对方，其大小可看作关于 \(x\) 的函数：
\[F(x)=\frac{GMm}{x^2} \]假定在原点有一质量为 \(M\) 的质点，定义无穷远点为势能零点。首先计算质量为 \(m\) 的质点从无穷远点移动到 \(r_0\) 点过程中万有引力 \(F\) 做的功。我们取足够远的一点 \(r_1\) ，将移动过程 \([r_0,r_1]\) 分为 \(n\) 段，假定每一段上 \(F\) 不变，累加所作的功（此时引力方向与移动方向相同，功为正）：
\[W_n=\sum_{i=1}^{n}{F_i\Delta x_i} \]使区间长 \(\lambda\to 0\) ，右端点 \(r_1\to \infin\) ，得到引力做的功的定义：
\[W_G=\lim_{r_1\to\infin}{\lim_{\lambda\to 0}{W_n}} =\lim_{r_1\to\infin}{\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^{n}{F_i\Delta x_i}}} =\lim_{r_1\to\infin}{\int_{r_0}^{r_1}{F(x)\text{d}x}} =\int_{r_0}^{\infin}{F(x)\text{d}x} \]这是一个反常积分。做出不定积分：
\[\int{F(x)\text{d}x}=\int{\frac{GMm}{x^2}\text{d}x}=-\frac{GMm}{x}+C \]代回原反常积分得到答案：
\[W_G=\int_{r_0}^{\infin}{F(x)\text{d}x} =\lim_{r_1\to\infin}{\left.-\frac{GMm}{x}\right|_{r_0}^{r_1}} =\frac{GMm}{r_0}-\lim_{r_1\to\infin}{\frac{GMm}{r_1}}=\frac{GMm}{r_0} \]由于无穷远点为势能零点，因此 \(r_0\) 点的万有引力势能：
\[V(r_0)=V_{\infin}-W_G=-\frac{GMm}{r_0} \]—2.质能方程 我们考虑一维空间中的情况[4]。在狭义相对论体系中，两个相对速度为 \(u\) 的惯性系满足洛伦兹变换：
\[\left\{ \begin{align*} x' & =\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ t' & =\frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{align*} \right. \]若对于一个惯性系有一个速度为 \(v\) 的物体，那么另一个惯性系中此物体的速度
\[v'=\frac{\text{d}x'}{\text{d}t'}=\frac{\text{d}x'/\text{d}u}{\text{d}t'/\text{d}u} =\frac{uc^{-2}(x-ut)(1-u^2/c^2)^{-3/2}}{uc^{-2}(t-ux/c^2)(1-u^2/c^2)^{-3/2}} =\frac{x-ut}{t-ux/c^2}=\frac{v-u}{1-uv/c^2} \] 假设有两个相对速度为 \(u\) 的惯性系 \(S,S'\) ，质量均为 \(m_0\) 的两个质点分别相对于 \(S,S'\) 静止。两质点相撞后合并为一个质点 \(M\) ，其相对于 \(S,S'\) 的速度分别为 \(v,v'\) 。假定参考系中物体的质量 \(m\) 是速度的大小 \(|v|\) 的函数。那么由于质量和动量守恒，对于两个惯性系分别有：
\[\begin{align*} & S:\left\{ \begin{aligned} m_0+m(|u|)& =M(|v|) \\ 0+m(|u|)u& =M(|v|)v \end{aligned} \right. &&\Longrightarrow && \frac{m_0}{m(|u|)}+1=\frac{u}{v} \\ & S':\left\{ \begin{aligned} m_0+m(\lvert-u\rvert)& =M(|v'|) \\ 0+m(\lvert-u\rvert)(-u)& =M(|v'|)v' \end{aligned} \right. &&\Longrightarrow&& \frac{m_0}{m(|u|)}+1=\frac{-u}{v'} \\ \end{align*} \]于是得到 \(v'=-v\) ，又根据惯性系间的速度变换 （显然，\(u>v\)）：
\[v'=\frac{v-u}{1-uv/c^2} \quad\Longrightarrow\quad-v=\frac{v-u}{1-uv/c^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{u}{v}=1+\sqrt{1-u^2/c^2} \]因此：
\[m(|u|)=\frac{m_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \] 于是可定义定义质量为 \(m\) 速度为 \(v\) 的质点的动量 \(p\) 为：
\[p=m(|v|)v=\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]从而质点如此运动时所受的力 \(F\) 为：
\[F=ma=\frac{m\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}p}{\text{d}t} \]同【§4—1】中的功的定义，此力 \(F\) 在区间 \([0,s]\) 上做功：
\[W_F=\int_0^s{F\text{d}x}=\int_0^t{\frac{\text{d}p}{\text{d}t}v\text{d}t}=\int_0^p{v\text{d}p}=\int_0^v{v\frac{\text{d}p}{\text{d}v}\text{d}v} \]根据动量的定义计算其导数：
\[\frac{\text{d}p}{\text{d}v}=\cfrac{m\sqrt{1-v^2/c^2}-mv\cdot\cfrac{-v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}{\left(\sqrt{1-v^2/c^2}\right)^2}=\frac{m}{(1-v^2/c^2)^{3/2}} \]带回原积分：
\[W_F=\int_0^v{v\frac{\text{d}p}{\text{d}v}\text{d}v}=\int_0^v{\frac{mv}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}\text{d}v}=\left.\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right|_0^v=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-mc^2 \]记洛伦兹因子 \(\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}\) 。由于合外力对物体做的功等于动能的改变量，假设初始动能为 \(0\) ，那么点 \(s\) 的动能就为 \(E_k=\gamma mc^2-mc^2\) 。我们视第一部分 \(\gamma mc^2\) 为总能量，第二部分 \(E=mc^2\) 为静能，就得到了质能方程。
—3.蒲丰投针问题平面内有无穷条相距 \(a\) 的平行线，将长度为 \(b\) 的针丢在平面内，求针与平行线相交的概率。
首先将问题转化为数学模型。我们可以用数对 \((x,\theta)\) 描述针在平面内的位置，其中 \(x\) 表示针的中点到距离最近的平行线的距离， \(x\in[0,\frac a 2]\) ；\(\theta\) 表示针与平行线的夹角， \(\theta\in[0,\frac \pi 2]\) 。则针与平行线相交就可以描述为如下不等式：
\[x \leqslant\frac{b}{2}\sin\theta \]我们将满足解的数对 \((x,\theta)\) 表在平面内，就会形成如下蓝色区域：
我们所求的概率就是蓝色区域面积与棕色矩形面积之比。在用积分求出蓝色区域面积之前，要注意到当 \(b>a,\sin\theta>\frac a b\) 时，蓝色区域会被限制成矩形，此时要分开求积分。于是：
-
当 \(b\leqslant a\) 时，
\[\begin{align*} S & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{b}{2}\sin\theta\text{d}\theta}=-\frac{b}{2}\cos\theta\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{b}{2} \\ P & =\frac{S}{S_0}=\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}\cdot\frac{\pi}{2}}=\frac{2b}{\pi a} \end{align*} \] -
当 \(b>a\) 时，
\[\begin{align*} S & =\int_{0}^{\arcsin\frac{a}{b}}{\frac{b}{2}\sin\theta\text{d}\theta}+\int_{\arcsin\frac{a}{b}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{a}{2}\text{d}\theta} \\ &=-\frac{b}{2}\cos\theta\Big|_0^{\arcsin\frac{a}{b}}+\frac{a}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{a}{b}\right) \\ & = \frac{\pi a}{4}+\frac{b}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{a}{2}\arcsin\frac{a}{b} \\ P & =\frac{S}{S_0}=\frac{\frac{\pi a}{4}+\frac{b}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{a}{2}\arcsin\frac{a}{b}}{\frac{a}{2}\cdot\frac{\pi}{2}} \\ & =1+\frac{2b}{\pi a}-\frac{2}{\pi a}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{a}{b} \end{align*} \]
综合起来：
\[P= \left\{ \begin{align*} & \frac{2b}{\pi a} &&(b\leqslant a) \\ & 1+\frac{2b}{\pi a}-\frac{2}{\pi a}\sqrt{b^2-a^2}-\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{a}{b} &&(b>a) \end{align*} \right. \]读者可自证：给定 \(a\) ，总有 \(0<P<1\) ， \(P\) 随 \(b\) 的增大严格减小，当 \(b\to\infin\) 时 \(P\to 1\) 。
这个实验在历史上曾用来估计 \(\pi\) 的大小，不少人做过此实验（下随意取几例）：
而其中多数要么很不精确，要么有造假之嫌。这个实验的“用概率估值”的精神被大名鼎鼎的蒙特卡洛方法继承，现在在计算机领域仍广为应用。
—4.不规则物体的引力求平面内线密度 \(\rho\) 的曲线 \((x(t),y(t)),t\in[a,b]\) 对质量为 \(m\) 的质点 \((p,q)\) 的引力的大小。
老规矩，分割区间 \([a,b]\) ，近似计算出每一段的质量：
\[M_i=\rho\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2}\Delta t_i \]取每一段上的一点 \((\xi_i,\psi_i)\) ，算出其到质点的距离：
\[L_i=\sqrt{(\xi_i-p)^2+(\psi_i-q)^2} \]计算出此段对质点的引力大小：
\[F_i=\frac{GmM_i}{L_i^2}=\frac{Gm\rho\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2}\Delta t_i}{(\xi_i-p)^2+(\psi_i-q)^2} \]将力分解到坐标轴方向上：
\[{F_i}_x=F_i\cos\theta_i=\frac{Gm\rho(\xi_i-p)\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2}\Delta t_i}{((\xi_i-p)^2+(\psi_i-q)^2)^{3/2}}\\ {F_i}_y=F_i\sin\theta_i=\frac{Gm\rho(\psi_i-q)\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t_i}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t_i}\right)^2}\Delta t_i}{((\xi_i-p)^2+(\psi_i-q)^2)^{3/2}} \]求和求出合力，并套入极限：
\[F_x=\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^{n}{{F_i}_x}}=\int_a^b{\frac{Gm\rho(x(t)-p)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}{((x(t)-p)^2+(y(t)-q)^2)^{3/2}}\text{d}t} \\ F_y=\lim_{\lambda\to 0}{\sum_{i=1}^{n}{{F_i}_y}}=\int_a^b{\frac{Gm\rho(y(t)-p)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}{((x(t)-p)^2+(y(t)-q)^2)^{3/2}}\text{d}t} \]于是这个引力的大小就是 \(F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}\) 。
本章介绍了积分的定义、基本计算方法和其应用。狭义来说，积分是微分的逆操作（这将在第五章微分方程充分体现）。广义来说，对某一个函数的“累积”操作总可以抽象成关于这个函数的一个积分（积分甚至不一定连续，例如在数论中狄利克雷卷积就可以视作一种“积分”），再加以解决。积分也因此广泛地应用于物理、信息等各个领域。在下一章节，我们将介绍对于各种常见形式的积分的计算方法，那将是一个纯粹技术性的章节。
\[\ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \mathtt{Square-Circle} : 2021.*.* \sim 2022.5.2 \ \\ \]另一种理解是将 \(\int{\text{d}y}\) 视作函数 \(f(y)=1\) 的积分，那么如上的操作就是下一节的换元积分法。 ↩︎
这里拉格朗日中值定理的使用条件，应由函数的可积性保证。详细的讨论会十分繁琐，并会涉及测度论等高深内容。读者仅需理解为“大部分常见的连续可导函数都可积”即可。 ↩︎
势能的定义实则是很复杂的，涉及到多维空间中的定向、零点的选取、积分是否与路径相关等。这里采取的是一维空间中的方便的简化。 ↩︎
以下内容参考了微信公众号“长尾科技”的文章你也能懂的质能方程E=mc²。 ↩︎