题目描述
这是 LeetCode 上的 1711. 大餐计数 ，难度为 中等。
Tag : 「哈希表」、「位运算」
大餐 是指 恰好包含两道不同餐品 的一餐，其美味程度之和等于 2 的幂。
你可以搭配 任意 两道餐品做一顿大餐。
给你一个整数数组 deliciousness ，其中 deliciousness[i] 是第 i 道餐品的美味程度，返回你可以用数组中的餐品做出的不同 大餐 的数量。结果需要对 + 7 取余。
注意，只要餐品下标不同，就可以认为是不同的餐品，即便它们的美味程度相同。
示例 1：
输入：deliciousness = [1,3,5,7,9]输出：4
解释：大餐的美味程度组合为 (1,3) 、(1,7) 、(3,5) 和 (7,9) 。
它们各自的美味程度之和分别为 4 、8 、8 和 16 ，都是 2 的幂。
示例 2：
输入：deliciousness = [1,1,1,3,3,3,7]输出：15
解释：大餐的美味程度组合为 3 种 (1,1) ，9 种 (1,3) ，和 3 种 (1,7) 。
提示：
- 1 <= deliciousness.length <=
- 0 <= deliciousness[i] <=
枚举前一个数（TLE）
一个朴素的想法是，从前往后遍历 中的所有数，当遍历到下标 的时候，回头检查下标小于 的数是否能够与 相加形成 的幂。
这样的做法是 的，防止同样的数值被重复计算，我们可以使用「哈希表」记录某个数出现了多少次，但这并不改变算法仍然是 的。
而且我们需要一个 check 方法来判断某个数是否为 的幂：
- 朴素的做法是对应用试除法，当然因为精度问题，我们需要使用乘法实现试除；
- 另一个比较优秀的做法是利用位运算找到符合「大于等于」的最近的的幂，然后判断是否与相同。
两种做法差距有多大呢？方法一的复杂度为 ，方法二为 。
根据数据范围 ，方法一最多也就是执行不超过 次循环。
显然，采用何种判断 的幂的做法不是关键，在 OJ 判定上也只是分别卡在 和 的 TLE 上。
但通过这样的分析，我们可以发现「枚举前一个数」的做法是与 相关的，而枚举「可能出现的 的幂」则是有明确的范围，这引导出我们的解法二。
Java 代码：
class Solution {int mod = (int)1e9+7;
public int countPairs(int[] ds) {
int n = ds.length;
long ans = 0;
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
int x = ds[i];
for (int other : map.keySet()) {
if (check(other + x)) ans += map.get(other);
}
map.put(x, map.getOrDefault(x, 0) + 1);
}
return (int)(ans % mod);
}
boolean check(long x) {
// 方法一
// long cur = 1;
// while (cur < x) {
// cur = cur * 2;
// }
// return cur == x;
// 方法二
return getVal(x) == x;
}
long getVal(long x) {
long n = x - 1;
n |= n >>> 1;
n |= n >>> 2;
n |= n >>> 4;
n |= n >>> 8;
n |= n >>> 16;
return n < 0 ? 1 : n + 1;
}
}
Python3 代码：
class Solution:mod = 10 ** 9 + 7
def countPairs(self, deliciousness: List[int]) -> int:
n = len(deliciousness)
ans = 0
hashmap = Counter()
for i in range(n):
x = deliciousness[i]
for other in hashmap:
if self.check(other+x):
ans += hashmap[other]
hashmap[x] += 1
return ans % self.mod
def check(self, x):
"""
# 方法一
cur = 1
while cur < x:
cur *= 2
return cur == x
"""
# 方法二
return self.getVal(x) == x
def getVal(self, x):
n = x - 1
# java中 >>>：无符号右移。无论是正数还是负数，高位通通补0。 Python不需要
n |= n >> 1
n |= n >> 2
n |= n >> 4
n |= n >> 8
n |= n >> 16
return 1 if n < 0 else n + 1
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
枚举 2 的幂（容斥原理）
根据对朴素解法的分析，我们可以先使用「哈希表」对所有在 出现过的数进行统计。
然后对于每个数 ，检查所有可能出现的 的幂 ，再从「哈希表」中反查 是否存在，并实现计数。
一些细节：如果哈希表中存在 ，并且 ，这时候方案数应该是 ；其余一般情况则是 。
同时，这样的计数方式，我们对于二元组 会分别计数两次（遍历 和 遍历 ），因此最后要利用容斥原理，对重复计数的进行减半操作。
Java 代码：
class Solution {int mod = (int)1e9+7;
int max = 1 << 22;
public int countPairs(int[] ds) {
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
for (int d : ds) map.put(d, map.getOrDefault(d, 0) + 1);
long ans = 0;
for (int x : map.keySet()) {
for (int i = 1; i < max; i <<= 1) {
int t = i - x;
if (map.containsKey(t)) {
if (t == x) ans += (map.get(x) - 1) * 1L * map.get(x);
else ans += map.get(x) * 1L * map.get(t);
}
}
}
ans >>= 1;
return (int)(ans % mod);
}
}
Python3 代码：
class Solution:mod = 10 ** 9 + 7
maximum = 1 << 22
def countPairs(self, deliciousness: List[int]) -> int:
hashmap = Counter(deliciousness)
ans = 0
for x in hashmap:
i = 1
while i < self.maximum:
t = i - x
if t in hashmap:
if t == x:
ans += (hashmap[x] - 1) * hashmap[x]
else:
ans += hashmap[x] * hashmap[t]
i <<= 1
ans >>= 1
return ans % self.mod
- 时间复杂度：根据数据范围，令为。复杂度为
- 空间复杂度：
枚举 2 的幂（边遍历边统计）
当然，我们也可以采取「一边遍历一边统计」的方式，这样取余操作就可以放在遍历逻辑中去做，也就顺便实现了不使用 来计数（以及不使用 % 实现取余）。
Java 代码：
class Solution {int mod = (int)1e9+7;
int max = 1 << 22;
public int countPairs(int[] ds) {
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
int ans = 0;
for (int x : ds) {
for (int i = 1; i < max; i <<= 1) {
int t = i - x;
if (map.containsKey(t)) {
ans += map.get(t);
if (ans >= mod) ans -= mod;
}
}
map.put(x, map.getOrDefault(x, 0) + 1);
}
return ans;
}
}
Python3 代码：
class Solution:mod = 10 ** 9 + 7
maximum = 1 << 22
def countPairs(self, deliciousness: List[int]) -> int:
hashmap = defaultdict(int)
ans = 0
for x in deliciousness:
i = 1
while i < self.maximum:
t = i - x
if t in hashmap:
ans += hashmap[t]
if ans >= self.mod:
ans -= self.mod
i <<= 1
hashmap[x] += 1
return ans
- 时间复杂度：根据数据范围，令为。复杂度为
- 空间复杂度：
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1711 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
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