Manthan, Codefest 19 (open for everyone, rated, Div. 1 + Div. 2)-D. Restore Permutation-构造+树状数组

【Problem Description】

? 给你一个长度为\(n\)的数组，第\(i\)个元素\(s_i\)表示一个排列中第\(i\)个元素之前，并且小于\(p_i\)的元素的和。求出满足此条件的排列。

【Solution】

? 假设\(n=5\)，\(s[]=\{0,0,3,7,3\}\)。从后往前看，最后一个值为\(3\)，表示存在一个数\(x\)，使得\(1+2+\dots+x=3\)。易知\(x=2\)，所以\(p_5=x+1=3\)。然后第二个值为\(7\)，表示存在一个数\(x\)，使得\(1+2+\dots +x-3=7\)。减\(3\)是因为\(p_5=3\)，不可能出现在\(p_4\)之前。所以可知\(x=4\)，所以\(p_4=x+1=5\)。同理利用此方法可以求出此排列。

? 上述方法其实就是在找一个最大的\(x\)，使得将所有满足\(1\le y\le x\)，并且未出现过的\(y\)值相加使其等于\(s_i\)，则\(p_i=x+1\)。可以想到用树状数组维护前缀和，用二分查找最大的满足条件的\(x\)。每求得一个数，就将此数清零即可。

? 但其实用树状数组中数组的特性，有更巧妙的方法。我们知道在树状数组中，对于数组\(tree[i]\)，它所维护的区间为\([i-lowbit(i)+1,i]\)，所以对于\(tree[2^i]\)，它所维护的区间就为\([1,2^i]\)。所以就可以利用此特性加上树状数组的操作，维护一个类似倍增方法，并且支持在线修改操作。

? 例如求\(sum[1+2+\dots10]=tree[2^3]+tree[2^3+2^1]\)

【Code】

/*
 * @Author: Simon 
 * @Date: 2019-08-26 18:14:20 
 * @Last Modified by: Simon
 * @Last Modified time: 2019-08-26 20:12:53
 */
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int Int;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 200005
int a[maxn],tree[maxn],ans[maxn];
inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
inline void update(int x,int val){
    for(int i=x;i<maxn;i+=lowbit(i)){
        tree[i]+=val;
    }
}
inline int query(int x){
    int ans=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        ans+=tree[i];
    }
    return ans;
}
int solve(int k,int n){
    int num=0,sum=0;
    for(int i=21;i>=0;i--){
        if(num+(1<<i)<=n&&sum+tree[num+(1<<i)]<=k){//求一个最大num，使得sum[1+2+...+num]=k
            num+=1<<i;
            sum+=tree[num];
        }
    }
    return num+1;
}
Int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    //freopen("input.in","r",stdin);
    //freopen("output.out","w",stdout);
#endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        update(i,i)/*初始所有值都存在*/;cin>>a[i];
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        ans[i]=solve(a[i],n);
        update(ans[i],-ans[i]);//将ans[i]清零。
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<ans[i]<<' ';
    cout<<endl;
#ifndef ONLINE_JUDGE
    system("pause");
#endif
    return 0;
}