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POJ 1637 Sightseeing tour

来源:互联网 收集:自由互联 发布时间:2023-10-08
混合图欧拉回路判断(不会的可以看看刘汝佳的黑书) 基础知识 欧拉回路是图G中的一个回路,经过每条边有且仅一次,称该回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图,简称E图。


混合图欧拉回路判断(不会的可以看看刘汝佳的黑书)

基础知识

    欧拉回路是图G中的一个回路,经过每条边有且仅一次,称该回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图,简称E图。

    无向图中存在欧拉回路的条件:每个点的度数均为偶数。

    有向图中存在欧拉回路的条件:每个点的入度=出度。

    欧拉路径比欧拉回路要求少一点:

    无向图中存在欧拉路径的条件:每个点的度数均为偶数或者有且仅有2个度数为奇数的点。

    有向图中存在欧拉路径的条件:除了2个点外,其余的点入度=出度,且在这2个点中,一个点的入度比出度大1,另一个出度比入度大1。

     欧拉路径的输出:经典的套圈算法。


    下面来重点讲讲混合图的欧拉回路问题。

    混合图就是边集中有有向边和无向边同时存在。这时候需要用网络流建模求解。

    建模:

    把该图的无向边随便定向,计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数,那么肯定不存在欧拉回路。 因为欧拉回路要求每点入度 = 出度,也就是总度数为偶数,存在奇数度点必不能有欧拉回路。

    好了,现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2,得x。也就是说,对于每一个点,只要将x条边改变方向(入>出就是变入,出>入就是变出),就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入,那么很明显,该图就存在欧拉回路。

    现在的问题就变成了:我该改变哪些边,可以让每个点出 = 入?构造网络流模型。

    首先,有向边是不能改变方向的,要之无用,删。一开始不是把无向边定向了吗?定的是什么向,就把网络构建成什么样,边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u,连接边(u, t)、容量为x,对于出 > 入的点v,连接边(s, v),容量为x(注意对不同的点x不同)。
    之后,察看从S发出的所有边是否满流。有就是能有欧拉回路,没有就是没有。欧拉回路是哪个?察看流值分配,将所有流量非 0(上限是1,流值不是0就是1)的边反向,就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
    由于是满流,所以每个入 > 出的点,都有x条边进来,将这些进来的边反向,OK,入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么,没和s、t连接的点怎么办?和s连接的条件是出 > 入,和t连接的条件是入 > 出,那么这个既没和s也没和t连接的点,自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中,这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的,这样,进去多少就出来多少,反向之后,自然仍保持平衡。
    所以,就这样,混合图欧拉回路问题,解了。


#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<math.h>
#define inf 1000000000
#define min(a,b) ((a)>(b))?(b):(a)
using namespace std;
int ind[250];
int n,k,dist[250],gap[250],edgeHead[250];//双向边
struct{
    int v,cap,next,re;
}edge[3000];

void addEdge(int u,int v,int ca){
    edge[k].v=v;
    edge[k].cap=ca;
    edge[k].next=edgeHead[u];
    edge[k].re=k + 1;               //这个用来记录此边的反边
    edgeHead[u]=k ++;
    edge[k].v=u;
    edge[k].cap=0;
    edge[k].next=edgeHead[v];
    edge[k].re=k - 1;
    edgeHead[v]=k ++;
}
int dfs (int p , int limit)
{
    if(p==n)return limit;

    for(int i=edgeHead[p];i!=0;i=edge[i].next){
        int v = edge[i].v;
        if(dist[p]==(dist[v]+1) && edge[i].cap>0){
            int t=dfs(v,min(limit , edge[i].cap));
            if(t<0)return t;//没有增广路了
            if(t>0)//更新流
            {
                edge[i].cap-=t;
                edge[edge[i].re].cap+=t;
                return t;
            }
        }
    }

    int tmp=n+1;
    for(int i=edgeHead[p];i!=0;i=edge[i].next){
        int v = edge[i].v;
        if(edge[i].cap>0)
            tmp=min(tmp,dist[v]+1);
    }

    if(--gap[dist[p]]==0 || dist[0]>n)return -1;//出现断层或回流已满
    ++gap[dist[p]=tmp];
    return 0;
}

int SAP()
{
    gap[0]=n+1;
    int f = 0 , t=0;
    while (~(t=dfs(0,inf))) f+=t;
    return f;
}
int main(){
	int i,j,t,T,v,e,sum;
	scanf("%d",&T);
	for(t=1;t<=T;t++){
		scanf("%d %d",&v,&e);
		memset(ind,0,sizeof(ind));
		sum=0;
		memset(edgeHead,0,sizeof(edgeHead));
		memset(dist,0,sizeof(dist));
		memset (gap , 0 , sizeof(gap));
		k=1;
		for(i=1;i<=e;i++){
			int a,b,w;
			scanf("%d %d %d",&a,&b,&w);
			ind[a]--;
			ind[b]++;
			if(w!=1)
				addEdge(a,b,1);
		}
		for(i=1;i<=v;i++){
			if(ind[i]%2){
				break;
			}
			ind[i]/=2;
		}
		if(i<=v){
			printf("impossible\n");
			continue;
		}
		for(i=1;i<=v;i++){
			if(ind[i]<0){
				addEdge(0,i,-ind[i]);
				sum+=-ind[i];
			}
			else if(ind[i]>0)
				addEdge(i,v+1,ind[i]);
		}
		n=v+1;
		int kk=SAP();
		if(kk==sum){
			printf("possible\n");
		}
		else
			printf("impossible\n");
	}
}

 

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