题目描述
这是 LeetCode 上的 1833. 雪糕的最大数量 ，难度为 中等。
Tag : 「贪心」、「排序」
夏日炎炎，小男孩 Tony 想买一些雪糕消消暑。
商店中新到 n 支雪糕，用长度为 n 的数组 costs 表示雪糕的定价，其中 costs[i] 表示第 i 支雪糕的现金价格。
Tony 一共有 coins 现金可以用于消费，他想要买尽可能多的雪糕。
给你价格数组 costs 和现金量 coins，请你计算并返回 Tony 用 coins 现金能够买到的雪糕的 最大数量 。
注意：Tony 可以按任意顺序购买雪糕。
示例 1：
输入：costs = [1,3,2,4,1], coins = 7输出：4
解释：Tony 可以买下标为 0、1、2、4 的雪糕，总价为 1 + 3 + 2 + 1 = 7
示例 2：
输入：costs = [10,6,8,7,7,8], coins = 5输出：0
解释：Tony 没有足够的钱买任何一支雪糕。示例 3：
输入：costs = [1,6,3,1,2,5],
输出：6
解释：Tony 可以买下所有的雪糕，总价为 1 + 6 + 3 + 1 + 2 + 5 = 18 。
提示：
- costs.length == n
- 1 <= n <=
- 1 <= costs[i] <=
- 1 <= coins <=
基本分析
从题面看，是一道「01 背包」问题，每个物品的成本为 ，价值为 。
但「01 背包」的复杂度为 ，其中 为物品数量（数量级为 ）， 为背包容量(数量级为 )。显然会 TLE。
换个思路发现，每个被选择的物品对答案的贡献都是 ，优先选择价格小的物品会使得我们剩余金额尽可能的多，将来能够做的决策方案也就相应变多。
因此一个直观的做法是，对物品数组进行「从小到大」排序，然后「从前往后」开始决策购买。
证明
直观上，这样的贪心思路可以使得最终选择的物品数量最多。
接下来证明一下该思路的正确性。
假定贪心思路取得的序列为 （长度为 ），真实最优解所取得的序列为 （长度为 ）。
两个序列均为「单调递增序列」。
其中最优解所对应具体方案不唯一，即存在多种选择方案使得物品数量相同。
因此，我们只需要证明两个序列长度一致即可。
按照贪心逻辑，最终选择的方案总成本不会超过 ，因此至少是一个合法的选择方案，天然有 ，只需要证明 成立，即可得证 。
通过反证法证明 成立，假设 不成立，即有 。
根据贪心决策，我们选择的物品序列在「排序好的 数组」里，必然是一段连续的前缀。并且再选择下一物品将会超过总费用 ；而真实最优解的选择方案在「排序好的 数组」里分布不定。
这时候我们可以利用「每个物品对答案的贡献均为 ，将最优解中的分布靠后的物品，替换为分布较前的物品，不会使得费用增加，同时答案不会变差」。
从而将真实最优解也调整为某段连续的前缀。
综上，通过反证法得证 成立，结合 ，可推出 。
即贪心解必然能够取得与最优解一样的长度。
贪心
排序，从前往后决策，直到不能决策为止。
代码：
class Solution:def maxIceCream(self, costs: List[int], coins: int) -> int:
n = len(costs)
costs.sort()
ans = 0
for i in range(n):
if coins >= costs[i]:
ans += 1
coins -= costs[i]
return ans
- 时间复杂度：排序复杂度为；获取答案的复杂度为。整体复杂度为
- 空间复杂度：排序复杂度为。整体复杂度为
PS. 这里假定 Arrays.sort 使用的是「双轴排序」的实现。
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最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1833 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
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